Prueba de Selección de Equipos de Moldavia para la EGMO 2023 Problema 5
5 Halle todos los pares de números reales $(x, y)$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} 6(1-x)^2=\dfrac{1}{y} \\ \\6(1-y)^2=\dfrac{1}{x}.\end{matrix}\right.$$
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Prueba de Selección de Equipos de Moldavia para la EGMO 2023 Problema 6
6 Sea un cuadrado $ABCD$ . Los puntos $E$ y $F$ están sobre los lados $(BC)$ y $(AB)$ tales que $BF=CE$ . Las rectas $AE$ y $CF$ se intersecan en el punto $G$ . Demuestre que $EF$ y $DG$ son perpendiculares.
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Prueba de Selección de Equipos de Moldavia para la EGMO 2023 Problema 7
7 Halle todas las ternas de enteros $(a, b, c)$ que verifican la ecuación $$|a+3|+b^2+4\cdot c^2-14\cdot b-12\cdot c+55=0.$$
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Prueba de Selección de Equipos de Moldavia para la EGMO 2023 Problema 2
2 Demuestre que para todo entero $n\geq2$ existen dos potencias distintas de $n$ tales que su suma es mayor que $10^{2023}$ y su diferencia positiva es divisible por $2023$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2023 Problema 11
11 Halle todos los primos $x,y$ y $z,$ tales que $x^5 +y^3 -(x+y)^2=3z^3$
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2023 Problema 10
10 En un torneo de ajedrez participaron $ 100 $ jugadores. Cada jugador jugó una partida contra cada uno de los demás. Por una victoria se otorga $1$ punto, por una derrota $ 0 $ y por un empate ambos jugadores reciben $0,5$ puntos. Ion obtuvo más puntos que cualquier otro jugador. Mihai perdió solo una partida, pero obtuvo menos puntos que cualquier otro jugador. Halle todos los valores posibles de la diferencia entre los puntos acumulados por Ion y los puntos acumulados por Mihai.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2023 Problema 9
9 Sean $ AD $ , $ BE $ y $ CF $ las alturas de $ \Delta ABC $ . Los puntos $ P, \, \, Q, \, \, R $ y $ S $ son los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $ D $ sobre los segmentos $ BA $ , $ BE $ , $ CF $ y $ CA $ , respectivamente. Demuestre que los puntos $ P, \, \, Q, \, \, R $ y $ S $ son colineales.
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Prueba de Selección de Equipos de Moldavia para la EGMO 2023 Problema 1
1 Los enteros $a, b, c, d$ satisfacen $a+b+c+d=0$ . Demuestre que $$n=(ab-cd)\cdot(bc-ad)\cdot(ca-bd)$$ es un cuadrado perfecto.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2023 Problema 8
8 Sea $ABCD$ un trapecio con bases $ AB$ y $CD$ $(AB>CD)$ . Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $ N$ y las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $ M$ . Las circunferencias circunscritas de $ADN$ y $BCN$ se intersecan en el punto $ P$ , distinto del punto $ N$ . Demuestre que los ángulos $AMP$ y $BMN$ son iguales.
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Prueba de Selección de Equipos de Moldavia para la EGMO 2023 Problema 10
10 La circunferencia $\Omega$ está inscrita en el triángulo $ABC$ con $\angle BAC=40$ . El punto $D$ está en el interior del ángulo $BAC$ y es la intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$ con el lado común $BC$ . La tangente trazada desde $D$ toca a $\Omega$ en $E$ . Halle $\angle BEC$ .
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