5 Sea $T$ un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras, tal que cada lado de $T$ contiene exactamente $m$ puntos con coordenadas enteras. Si el área de $T$ es menor que $2020$ , determine el mayor valor posible de $m$ .

1 Determine todos los enteros positivos $n>2$ , tales que $n = a^3 + b^3$ , donde $a$ es el divisor positivo más pequeño de $n$ mayor que $1$ y $b$ es un divisor positivo arbitrario de $n$ .

2 Se nos da un semicírculo $k$ con centro $O$ y diámetro $AB$ . Sea $C$ un punto sobre $k$ tal que $CO \bot AB$ . La bisectriz de $\angle ABC$ interseca a $k$ en el punto $D$ . Sea $E$ un punto sobre $AB$ tal que $DE \bot AB$ y sea $F$ el punto medio de $CB$ . Demuestre que el cuadrilátero $EFCD$ es cíclico.

3 Sean $x$ , $y$ , y $z$ números reales positivos tales que $x + y + z = 1$ . Demuestre que $\frac{(x+y)^3}{z} + \frac{(y+z)^3}{x} + \frac{(z+x)^3}{y} + 9xyz \ge 9(xy + yz + zx)$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

4 Determine todos los pares $(p, q)$ , $p, q \in \mathbb {N}$ , tales que $(p + 1)^{p - 1} + (p - 1)^{p + 1} = q^q$ .

5 Un $2018$ -ágono regular está inscrito en un círculo. Los números $1, 2, ..., 2018$ se colocan en los vértices del $2018$ -ágono, con un número en cada vértice, de modo que la suma de cualesquiera $2$ números vecinos ( $2$ números son vecinos si los vértices en los que están se encuentran sobre un lado del polígono) es igual a la suma de los $2$ números que están en los antípodas de esos $2$ vértices (con respecto al círculo dado). Determine el número de ordenaciones diferentes de los números. (Dos ordenaciones son idénticas si se puede pasar de una a la otra rotando alrededor del centro del círculo).

Sean $x$ , $y$ y $z$ números reales positivos tales que $x+y+z = 1$ . Demuestre la desigualdad: $$\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z} +\frac{z^2}{1+x} \leq 1$$

1 Resuelva la ecuación $x^2+y^4+1=6^z$ en el conjunto de los enteros.

2 Se dan un círculo $k$ con centro $O$ y radio $r$ y una recta $p$ que no tiene puntos comunes con $k$ . Sea $E$ el pie de la perpendicular trazada desde $O$ a $p$ . Sea $M$ un punto arbitrario sobre $p$ , distinto de $E$ . Las tangentes trazadas desde el punto $M$ al círculo $k$ son $MA$ y $MB$ . Si $H$ es la intersección de $AB$ y $OE$ , entonces demuestre que $OH=\frac{r^2}{OE}$ .

3 Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos. Demuestre que $\prod_{cyc}(16a^2+8b+17)\geq2^{12}\prod_{cyc}(a+1)$ .