4 Se trazan las tangentes $ SA $ y $ SB $ a la circunferencia $ \omega $ con centro $ O $ , desde el punto $ S $ . Los puntos $ C $ y $ C '$ están en la circunferencia $ \omega $ de modo que $ AC \parallel OB $ y $ CC' $ es el diámetro de $ \omega $ . Sean las rectas $ BC $ y $ SA $ que se intersecan en $ K $ , y las rectas $ KC '$ y $ AC $ en $ M $ . Demuestre que en el triángulo $ MKC $ la altura desde el vértice $ M $ divide a la altura desde el vértice $ C $ por la mitad si el ángulo $ BMK $ es recto.

3 Demuestre que hay infinitos enteros positivos $ n$ tales que $ n^{2} + 1$ tiene un divisor primo mayor que $ 2n + \sqrt {2n}$ . Autor: Kestutis Cesnavicius, Lituania

15 Calcule el número de formas de descomponer $2026$ como suma no ordenada de enteros positivos distintos, cada uno de los cuales es una potencia de $2$ o una potencia de $6.$

Una permutación $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2n}\}$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, 2n\}$, donde $ n$ es un entero positivo, se dice que tiene la propiedad $ T$ si $ |x_i - x_{i + 1}| = n$ para al menos un $ i$ en $ \{1,2, \ldots, 2n - 1\}$. Demuestra que, para cada $ n$, hay más permutaciones con la propiedad $ T$ que sin ella.

1 Sea $ n(\ge2) $ un entero positivo. Halle el mínimo $ m $ tal que existan $x_{ij}(1\le i ,j\le n)$ que satisfagan: (1)Para todo $1\le i ,j\le n, x_{ij}=max\{x_{i1},x_{i2},...,x_{ij}\} $ o $ x_{ij}=max\{x_{1j},x_{2j},...,x_{ij}\}.$ (2)Para todo $1\le i \le n$ , hay a lo sumo $m$ índices $k$ con $x_{ik}=max\{x_{i1},x_{i2},...,x_{ik}\}.$ (3)Para todo $1\le j \le n$ , hay a lo sumo $m$ índices $k$ con $x_{kj}=max\{x_{1j},x_{2j},...,x_{kj}\}.$

2 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que $$6\nmid \lfloor (\sqrt[3]{28}-3)^{-n} \rfloor.$$

6 Llamamos a un grafo con n vértices $k-flowing-chromatic$ si: 1. podemos colocar una ficha en cada vértice y cualesquiera dos fichas vecinas (conectadas por una arista) tienen colores diferentes. 2. podemos elegir un ciclo hamiltoniano $v_1,v_2,\cdots , v_n$ , y mover la ficha en $v_i$ a $v_{i+1}$ con $i=1,2,\cdots ,n$ y $v_{n+1}=v_1$ , tal que cualesquiera dos fichas vecinas también tienen colores diferentes. 3. después de alguna acción del paso 2 podemos hacer que todas las fichas alcancen cada uno de los n vértices. Sea T(G) el menor número k tal que G es k-flowing-chromatic. Si tal k no existe, denote T(G)=0. Denote $\chi (G)$ el número cromático de G. Halle todos los números positivos m tales que existe un grafo G con $\chi (G)\le m$ y $T(G)\ge 2^m$ sin un ciclo de longitud menor que 2017. sengeki-niju

32 Si $n_1, n_2, \cdots, n_k$ son números naturales y $n_1+n_2+\cdots+n_k = n$ , demuestre que \[max(n_1n_2\cdots n_k)=(t + 1)^rt^{k-r},\] donde $t =\left[\frac{n}{k}\right]$ y $r$ es el resto de dividir $n$ entre $k$ ; es decir, $n = tk + r, 0 \le r \le k- 1$ .

16 Sean $O$ y $G$ el circuncentro y el baricentro del triángulo $ABC,$ respectivamente, y sea $M$ el punto medio del lado $\overline{BC}.$ Dado que $OG=1, OM = \sqrt{2},$ y $GM = \sqrt{3},$ calcule el área del triángulo $ABC.$

54 $(POL 3)$ Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros cuyo valor es divisible por $3$ para tres enteros $k, k + 1$ y $k + 2$. Demuestra que $f(m)$ es divisible por $3$ para todos los enteros $m$.