2 Una cuadrícula $m\times n$ está embaldosada con mosaicos $2\times2$ y $1\times3$ (horizontales y verticales). Demuestre que el número de formas de elegir un rectángulo $1\times2$ (horizontal y vertical) tal que una de sus celdas esté embaldosada por un mosaico $2\times2$ y la otra celda esté embaldosada por un mosaico $1\times3$ [horizontal y vertical] es un número par.

3 Tenemos $n\ge3$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. Demuestre que es posible nombrarlos $P_1,P_2,\ldots,P_n$ de modo que para todo $1<i<n$ , el ángulo $\angle P_{i-1}P_iP_{i+1}$ sea agudo.

$\mathcal F\subseteq X^{(k)}$$|X|=n$$\mathcal F$$A,B,C$$A\cap B$$B\cap C$$C\cap A$$\phi$$k\le \frac{n}{2}$$|\mathcal F|\le max(1,4-\frac{n}{k})\times \dbinom{n-1}{k-1}$$k\le \frac{n}{3}$

1 Sea dado un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $D$ el pie de la altura trazada desde $A$ . Las tangentes trazadas desde $D$ a las circunferencias con diámetros $AB$ y $AC$ cortan a dichas circunferencias en $K$ y $L$ , respectivamente. El punto $S$ en el plano está dado de modo que $\angle ABC + \angle ABS = \angle ACB + \angle ACS = 180^\circ$ . Demuestre que $A, K, L$ y $S$ están sobre una circunferencia.

2 Dado un triángulo acutángulo $ABC$ , sea $M$ el punto medio de $AB$ . El punto $K$ está dado en el lado de la recta $AC$ opuesto al del punto $B$ tal que $\angle KMC = 90 ^ \circ $ y $\angle KAC = 180^\circ - \angle ABC$ . La tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A$ corta a la recta $CK$ en $E$ . Demuestre que la reflexión de la recta $BC$ respecto a $CM$ pasa por el punto medio del segmento $ME$ .

3 Dado el triángulo $ABC$ , se eligen puntos variables $X$ e $Y$ sobre los segmentos $AB$ y $AC$ , respectivamente. El punto $Z$ sobre la recta $BC$ se elige tal que $ZX=ZY$ . La circunferencia circunscrita de $XYZ$ corta a la recta $BC$ por segunda vez en $T$ . El punto $P$ está dado sobre la recta $XY$ tal que $\angle PTZ = 90^ \circ$ . El punto $Q$ está en el mismo lado de la recta $XY$ que $A$ y además $\angle QXY = \angle ACP$ y $\angle QYX = \angle ABP$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $QXY$ pasa por un punto fijo (a medida que $X$ e $Y$ varían).

1 Sea $S$ un conjunto infinito de enteros positivos, tal que existen cuatro elementos $a,b,c,d \in S$ distintos dos a dos con $\gcd(a,b) \neq \gcd(c,d)$ . Demuestre que existen tres elementos $x,y,z \in S$ distintos dos a dos tales que $\gcd(x,y)=\gcd(y,z) \neq \gcd(z,x)$ .

2 ¿Es posible disponer una permutación de los enteros sobre la retícula entera infinita en ambos sentidos tal que cada fila sea creciente de izquierda a derecha y cada columna creciente de arriba hacia abajo?

3 Sea $n\ge 3$ un entero fijo. Hay $m\ge n+1$ cuentas en un collar circular. Desea pintar las cuentas usando $n$ colores, de modo que entre cualesquiera $n+1$ cuentas consecutivas aparezca cada color al menos una vez. Halle el mayor valor de $m$ para el cual esta tarea $\emph{not}$ es posible. Carl Schildkraut, USA

3 Se dan un polinomio $P$ con coeficientes reales no negativos y una función $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ tales que para todo $x, y\in \mathbb{R}^+$ tenemos $$f(x+P(x)f(y)) = (y+1)f(x)$$ (a) Demuestre que $P$ tiene grado a lo sumo 1. (b) Halle todas las funciones $f$ y los polinomios no constantes $P$ que satisfacen la igualdad.