1 Halle las soluciones enteras de la ecuación $7(x+y)=3(x^2-xy+y^2)$

6 IMO 2007 HKTST 1 Problema 6 Determine todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos tales que $\frac{x^{2}y+x+y}{xy^{2}+y+11}$ es un entero.

5 Dados finitamente muchos puntos en un plano, se sabe que el área del triángulo formado por cualesquiera tres puntos del conjunto es menor que 1. Demuestre que todos los puntos del conjunto se encuentran en el interior o en la frontera de un triángulo de área menor que 4.

6 Halle $2^{2006}$ enteros positivos que satisfacen las siguientes condiciones. (i) Cada entero positivo tiene $2^{2005}$ dígitos. (ii) Cada entero positivo tiene solo 7 u 8 en sus dígitos. (iii) Entre cualesquiera dos enteros elegidos, a lo sumo la mitad de sus dígitos correspondientes son iguales.

1 En un $\triangle ABC$ , $\angle C=2 \angle B$ . $P$ es un punto del interior de $\triangle ABC$ tal que $AP=AC$ y $PB=PC$ . Demuestre que $AP$ triseca el ángulo $\angle A$ .

2 En un torneo de tenis de mesa con $10$ participantes, cualesquiera $2$ participantes se enfrentan solo una vez. Decimos que hay un triángulo ganador si ocurre la siguiente situación: $i$ - ésimo participante venció al $j$ - ésimo participante, $j$ - ésimo participante venció al $k$ - ésimo participante, y $k$ - ésimo participante venció al $i$ - ésimo participante. Sean $W_i$ y $L_i $ respectivamente el número de partidos ganados y perdidos por el $i$ - ésimo participante. Suponga que $L_i+W_j\geq 8$ siempre que el $j$ - ésimo participante derrota al $i$ - ésimo participante. Demuestre que hay exactamente $40$ triángulos ganadores en este torneo.

3 Halle todos los enteros no negativos $x, y$ y $z$ que satisfacen la ecuación: \[7^{x}+1=3^{y}+5^z\]

1 Suponga que $x, y, z \in \mathbb{R}_+$ tales que $xy+yz+zx=1$ . Demuestre que \[x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-z^2)(1-x^2)+z(1-x^2)(1-y^2)\leq \frac{4\sqrt{3}}{9}\]

2 Dada una función $f(n)$ , definida sobre los números naturales, que satisface las siguientes condiciones: (i ) $f(n)=n-12$ si $n>2000$ ; (ii ) $f(n)=f(f(n+16))$ si $n \leq 2000$ . (a) Halle $f(n)$ . (b) Halle todas las soluciones de $f(n)=n$ .

3 Sean $m$ y $n$ enteros positivos tales que $m$ tiene $d$ dígitos en base diez y $d\leq n$ . Halle la suma de todos los dígitos (en base diez) del producto $(10^n-1)m$ .