3 Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que para todos los números reales positivos $x$ e $y$ : \[f(x)f(y+f(x))=f(1+xy)\] Propuesto por Otgonbayar Uuye.

2 Llamamos a un triángulo que consiste en tres vértices de un pentágono grande si su área es mayor que la mitad del área del pentágono. Encuentre el número máximo de triángulos grandes que puede haber en un pentágono convexo. Propuesto por Gonchigdorj Radnaasumberel.

1 Encuentre todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que $a \leq b$ y \[a!+b!=c^4+2024\] Propuesto por Otgonbayar Uuye.

1 Sean $M, \alpha, \beta \in \mathbb{R} $ con $M > 0$ y $\alpha, \beta \in (0,1)$ . Si $R>1$ es un número real, decimos que una sucesión de números reales positivos $\{ C_n \}_{n\geq 0}$ es $R$ -inoceronte si $ \sum_{i=1}^n R^{n-i}C_i \leq R^n \cdot M$ para todo $n \geq 1$ . Determine el menor real $R>1$ para el cual existe una sucesión $R$ -inoceronte $ \{ C_n \}_{n\geq 0}$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty} \beta ^n C_n^{\alpha}$ diverge.

2 Existe un cuadrilátero $\mathcal{Q} _{1}$ tal que los puntos medios de sus lados se encuentran sobre una circunferencia. Demuestre que existe un cuadrilátero cíclico $\mathcal{Q} _{2}$ con los mismos lados que $\mathcal{Q} _{1}$ y dos de los mismos ángulos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $2BC = AB + AC,$ con incentro $I{}.$ Sea $AI{}$ que se encuentra con $BC{}$ en el punto $A'.{}$ La mediatriz de $AA'{}$ se encuentra con $BI{}$ y $CI{}$ en los puntos $B'{}$ y $C'{}$ respectivamente. Sea $AB'{}$ que interseca a $(ABC)$ en $X{}$ y sea $XI{}$ que interseca a $AC'{}$ en $X'{}.$ Demuestre que $2\angle XX'A'=\angle ABC.{}$ (Propuesto por Kang Taeyoung, Corea del Sur)

7 Las aristas de un grafo completo sobre $1000$ vértices están coloreadas con tres colores. Demuestre que este grafo contiene un ciclo monocromático sin autointersecciones cuya longitud es impar y no menor que $41$ .

3 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $f(f(x)f(y)+y)=f(x)y+f(y-x+1)$ Para todo $x,y \in \mathbb{R}$

1 Sea $T(a)$ la suma de los dígitos de $a$ . ¿Para qué enteros positivos $R$ existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{T(n^2)}{T(n)}=R$ ?

2 Davi y George están haciendo un recorrido por la ciudad de Fortaleza, con Davi liderando inicialmente. Fortaleza está organizada como una cuadrícula de $n \times n$ . Comienzan en uno de los cuadrados de la cuadrícula y pueden moverse de un cuadrado a otro cuadrado adyacente a través de una calle (para cada par de cuadrados vecinos de la cuadrícula, hay una calle que los conecta). Algunas calles son peligrosas. Si Davi o George pasan por una calle peligrosa, se asustan e intercambian quién lidera el recorrido por la ciudad. Su objetivo es pasar por cada manzana de Fortaleza exactamente una vez. Sin embargo, si el recorrido por la ciudad termina con George al mando, el mundo entero queda desempleado y todos mueren de hambre. Dado que hay al menos una calle que no es peligrosa, demuestre que Davi y George pueden lograr su objetivo sin que todos mueran de hambre.