B1 Inscribe un rectángulo de base $b$ y altura $h$ en un círculo de radio uno, e inscribe un triángulo isósceles en la región del círculo cortada por una de las bases del rectángulo (con ese lado como base del triángulo). ¿Para qué valor de $h$ tienen el rectángulo y el triángulo la misma área?

B2 Demuestra que solo hay un número finito de posibilidades para la terna ordenada $T=(x-y,y-z,z-x)$, donde $x,y,z$ son números complejos que satisfacen las ecuaciones simultáneas \[ x(x-1)+2yz = y(y-1)+2zx = z(z-1)+2xy, \] y enumera todas esas ternas $T$.

A2 ¿Cuál es el dígito de las unidades (es decir, el de la derecha) de \[ \left\lfloor \frac{10^{20000}}{10^{100}+3}\right\rfloor ? \]

A4 Una transversal de una matriz $n\times n$ $A$ consiste en $n$ entradas de $A$, sin que haya dos en la misma fila o columna. Sea $f(n)$ el número de matrices $n\times n$ $A$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) Cada entrada $\alpha_{i,j}$ de $A$ está en el conjunto $\{-1,0,1\}$. (b) La suma de las $n$ entradas de una transversal es la misma para todas las transversales de $A$. Un ejemplo de tal matriz $A$ es \[ A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right). \] Determina con demostración una fórmula para $f(n)$ de la forma \[ f(n) = a_1 b_1^n + a_2 b_2^n + a_3 b_3^n + a_4, \] donde los $a_i$ y los $b_i$ son números racionales.

B3 Sea $\Gamma$ el conjunto de todos los polinomios en $x$ con coeficientes enteros. Para $f$ y $g$ en $\Gamma$ y $m$ un entero positivo, sea $f \equiv g \pmod{m}$ que significa que todo coeficiente de $f-g$ es un múltiplo entero de $m$. Sean $n$ y $p$ enteros positivos con $p$ primo. Dado que $f,g,h,r$ y $s$ están en $\Gamma$ con $rf+sg\equiv 1 \pmod{p}$ y $fg \equiv h \pmod{p}$, demuestra que existen $F$ y $G$ en $\Gamma$ con $F \equiv f \pmod{p}$, $G \equiv g \pmod{p}$, y $FG \equiv h \pmod{p^n}$.

B4 Para un número real positivo $r$, sea $G(r)$ el valor mínimo de $|r - \sqrt{m^2+2n^2}|$ para todos los enteros $m$ y $n$. Demuestra o refuta la afirmación de que $\lim_{r\to \infty}G(r)$ existe y es igual a $0$.

B5 Sea $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2+xyz$. Sean $p(x,y,z), q(x,y,z)$, $r(x,y,z)$ polinomios con coeficientes reales que satisfacen \[ f(p(x,y,z), q(x,y,z), r(x,y,z)) = f(x,y,z). \] Demuestra o refuta la afirmación de que la sucesión $p,q,r$ consiste en alguna permutación de $\pm x, \pm y, \pm z$, donde el número de signos menos es $0$ o $2$.

B6 Supón que $A,B,C,D$ son matrices de $n \times n$ con entradas en un campo $F$, que satisfacen las condiciones de que $AB^T$ y $CD^T$ son simétricas y $AD^T - BC^T = I$. Aquí $I$ es la matriz identidad de $n \times n$, y si $M$ es una matriz de $n \times n$, $M^T$ es su transpuesta. Demuestra que $A^T D - C^T B = I$.

A1 Determina, con demostración, el número de ternas ordenadas $\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right)$ de conjuntos que tienen la propiedad de que (i) $A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},$ y (ii) $A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}=\emptyset.$ Expresa tu respuesta en la forma $2^{a} 3^{b} 5^{c} 7^{d},$ donde $a, b, c, d$ son enteros no negativos.

Sea $T$ un triángulo agudo. Inscribe un rectángulo $R$ en $T$ con un lado a lo largo de un lado de $T$. Luego inscribe un rectángulo $S$ en el triángulo formado por el lado de $R$ opuesto al lado sobre la frontera de $T$, y los otros dos lados de $T$, con un lado a lo largo del lado de $R$. Para cualquier polígono $X$, sea $A(X)$ el área de $X$. Encuentra el valor máximo, o muestra que no existe máximo, de $\tfrac{A(R)+A(S)}{A(T)},$ donde $T$ varía sobre todos los triángulos y $R,S$ sobre todos los rectángulos como se indicó.