4 Considere el conjunto de enteros $ \left \{ 1, 2, \dots , 100 \right \} $ . Sea $ \left \{ x_1, x_2, \dots , x_{100} \right \}$ una disposición arbitraria de los enteros $ \left \{ 1, 2, \dots , 100 \right \}$ , donde todos los $x_i$ son diferentes. Halle el menor valor posible de la suma $$S = \left | x_2 - x_1 \right | + \left | x_3 - x_2 \right | + \cdots+ \left |x_{100} - x_{99} \right | + \left |x_1 - x_{100} \right | .$$

7 Evalúe $\int^{\pi/2}_0 \frac{\cos^4x + \sin x \cos^3 x + \sin^2x\cos^2x + \sin^3x\cos x}{\sin^4x + \cos^4x + 2\ sinx\cos^3x + 2\sin^2x\cos^2x + 2\sin^3x\cos x} dx$.

4 Yukihira está calculando el número mínimo de rectas $m$ que pueden trazarse en el plano de modo que se intersequen en exactamente $200$ puntos distintos. ¿Cuál es $m$?

6 Halle todos los pares de enteros $(m,n)$ que satisfacen la igualdad $3(m^2+n^2)-7(m+n)=-4$.

3 BdMO National 2018 Higher Secondary P3 Nazia lanza cuatro dados equilibrados de seis caras. No ve los resultados. Su amiga Faria le dice que el producto de los números es $144$. Faria también dice que la suma de los dados, $S$, satisface $14\leq S\leq 18$. Nazia le dice a Faria que $S$ no puede ser uno de los números del conjunto { $14,15,16,17,18$ } si el producto es $144$. ¿Qué número del rango { $14,15,16,17,18$ } es un valor imposible para $S$?

5 Se dibujan cuatro círculos con los lados del cuadrilátero $ABCD$ como diámetros. Los dos círculos que pasan por $A$ se vuelven a encontrar en $E$. Los dos círculos que pasan por $B$ se vuelven a encontrar en $F$. Los dos círculos que pasan por $C$ se vuelven a encontrar en $G$. Los dos círculos que pasan por $D$ se vuelven a encontrar en $H$. Suponga que $ E, F, G,H $ son todos distintos. ¿Es el cuadrilátero $EFGH$ semejante a $ABCD$? Demuéstrelo.

7 Juli es una matemática y diseñó un algoritmo para encontrar marido. La estrategia es: • Comience entrevistando como máximo a $1000$ posibles maridos. Asigne a cada persona una clasificación $r$ que es un entero positivo. No hay dos candidatos con la misma clasificación $r$. • Rechace a los primeros $k$ hombres y sea $H$ la clasificación más alta de estos $k$ hombres. • Después de rechazar a los primeros $k$ hombres, seleccione al siguiente candidato con una clasificación mayor que $H$ y detenga la búsqueda inmediatamente. Si ningún candidato es seleccionado después de $999$ entrevistas, se selecciona a la $1000th$ persona. Juli quiere hallar el valor de $k$ para el cual tiene la mayor probabilidad de elegir al candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos sin tener que entrevistar a los $1000$ candidatos. (a) (6 puntos:) ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos sea el candidato $(m + 1)th$? (b) (6 puntos:) Suponga que el candidato de mayor clasificación es la persona $(m + 1)th$ en ser entrevistada. ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato de mayor clasificación entre los primeros $m$ candidatos sea uno de los primeros $k$ candidatos que fueron rechazados? (c) (6 puntos:) ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato con la clasificación más alta sea la persona $(m+1)th$ y de que Juli elija al hombre $(m+1)th$ usando este algoritmo? (d) (16 puntos:) La probabilidad total de que Juli elija al candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos es la suma de las probabilidades para cada valor posible de $m+1$, con $m+1$ variando entre $k+1$ y $1000$. Halle la suma. Para simplificar su respuesta, use la fórmula $In N \approx \frac{1}{N-1}+\frac{1}{N-2}+...+\frac{1}{2}+1$ (e) (6 puntos:) Halle el valor de $k$ que maximiza la probabilidad de elegir al candidato de mayor clasificación sin entrevistar a los $1000$ candidatos. Puede necesitar saber que el máximo de la función $x ln \frac{A}{x-1}$ es aproximadamente $\frac{A + 1}{e}$, donde $A$ es una constante y $e$ es el número de Euler, $e = 2.718....$

9 Considere la integral $Z(0)=\int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-x^2}= \sqrt{\pi}$. (a) Demuestre que la integral $Z(j)=\int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-x^{2}+jx}$, donde $j$ no es una función de $x$, es $Z(j)=e^{j^{2}/4a} Z(0)$. (b) Demuestre que $$\dfrac 1 {Z(0)}=\int x^{2n} e^{-x^2}= \dfrac {(2n-1)!!}{2^n},$$ donde $(2n-1)!!$ se define como $(2n-1)(2n-3)\times\cdots\times3\times 1$. (c) ¿Cuál es el número de maneras de formar $n$ pares a partir de $2n$ objetos distintos? Interprete la parte anterior del problema en términos de esta respuesta.

7 En el triángulo $\triangle ABC$, los puntos $A', B', C'$ están en los lados $BC, AC, AB$ respectivamente. Además, $AA', BB', CC'$ se intersecan en el punto $O$ (son concurrentes en $O$). También, $\frac {AO}{OA'}+\frac {BO}{OB'}+\frac {CO}{OC'} = 92$. Halle el valor de $\frac {AO}{OA'}\times \frac {BO}{OB'}\times \frac {CO}{OC'}$.

5 Un tetraedro es un poliedro compuesto por cuatro caras triangulares. Las caras $ABC$ y $BCD$ de un tetraedro $ABCD$ se encuentran formando un ángulo de $\pi/6$. El área del triángulo $\triangle ABC$ es $120$. El área del triángulo $\triangle BCD$ es $80$, y $BC = 10$. ¿Cuál es el volumen del tetraedro? Llamamos al volumen de un tetraedro un tercio del área de su base multiplicada por su altura.