3 Sea $m$ un entero positivo. Una triangulación de un polígono es $m$ - equilibrada si sus triángulos pueden colorearse con $m$ colores de manera que la suma de las áreas de todos los triángulos de un mismo color sea la misma para cada uno de los $m$ colores. Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe una triangulación $m$ - equilibrada de un $n$ -ágono regular. Nota : Una triangulación de un polígono convexo $\mathcal{P}$ con $n \ge 3$ lados es cualquier partición de $\mathcal{P}$ en $n-2$ triángulos mediante $n-3$ diagonales de $\mathcal{P}$ que no se intersecan en el interior del polígono. Propuesto por Krit Boonsiriseth

4 Sean $m$ y $n$ enteros positivos. Un collar circular contiene $mn$ cuentas, cada una roja o azul. Resultó que no importa cómo se corte el collar en $m$ bloques de $n$ cuentas consecutivas, cada bloque tenía un número distinto de cuentas rojas. Determine, con demostración, todos los valores posibles del par ordenado $(m, n)$ . Propuesto por Rishabh Das

6 Se elige un punto $D$ en el interior del triángulo acutángulo $\triangle ABC$ de modo que $\angle DAC = \angle ACB$ y $\angle BDC = 90^{\circ} + \angle BAC$ . Se escoge el punto $E$ sobre la semirrecta $BD$ de modo que $AE = EC$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Muestre que la recta $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BEM$ . Propuesto por Anton Trygub

6 Sea $n > 2$ un entero y sea $\ell \in \{1, 2,\dots, n\}$ . Una colección $A_1,\dots,A_k$ de subconjuntos (no necesariamente distintos) de $\{1, 2,\dots, n\}$ se llama $\ell$ - grande si $|A_i| \ge \ell$ para todo $1 \le i \le k$ . Halle, en términos de $n$ y $\ell$ , el mayor número real $c$ tal que la desigualdad \[ \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k x_ix_j\frac{|A_i\cap A_j|^2}{|A_i|\cdot|A_j|}\ge c\left(\sum_{i=1}^k x_i\right)^2 \] se cumple para todo entero positivo $k$ , todos los números reales no negativos $x_1,x_2,\dots,x_k$ y todas las colecciones $\ell$ - grandes $A_1,A_2,\dots,A_k$ de subconjuntos de $\{1,2,\dots,n\}$ . Propuesto por Titu Andreescu y Gabriel Dospinescu Mr.Trick

1 Hay $1001$ pilas de monedas $S_1, S_2, \dots, S_{1001}$ . Inicialmente, la pila $S_k$ tiene $k$ monedas para cada $k = 1,2,\dots,1001$ . En una operación, se selecciona un par ordenado $(i,j)$ de índices $i$ y $j$ que satisface $1 \le i < j \le 1001$ sujeto a dos condiciones: las pilas $S_i$ y $S_j$ deben tener cada una al menos $1$ moneda, y el par ordenado $(i,j)$ no debe haber sido seleccionado antes. Entonces, si $S_i$ y $S_j$ tienen $a$ monedas y $b$ monedas respectivamente, se retiran $\gcd(a,b)$ monedas de cada pila. ¿Cuál es el número máximo de veces que se podría realizar esta operación? Galin Totev

2 Sea $k$ un entero positivo fijo. Para cada entero $1 \leq i \leq 4$ , sean $x_i$ e $y_i$ enteros positivos tales que su mínimo común múltiplo es $k$ . Suponga que los cuatro puntos $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ , $(x_3, y_3)$ , $(x_4, y_4)$ son los vértices de un rectángulo no degenerado en el plano cartesiano. Demuestre que $x_1x_2x_3x_4$ es un cuadrado perfecto. Andrei Chirita

3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Se eligen dos puntos distintos $P$ y $Q$ sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ tales que \[ \angle API = \angle AQI = 45^\circ. \] Las rectas $PQ$ y $BC$ se cortan en $S$ . Sea $H$ el pie de la altura desde $A$ hasta $BC$ . Demuestre que $\angle AHI = \angle ISH$ . Matsvei Zorka

4 Halle todas las sucesiones $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ de enteros no negativos tales que para todos los enteros positivos $n$ , el polinomio \[1+x^{a_1}+x^{a_2}+\dots+x^{a_n}\] tenga al menos una raíz entera. (Aquí $x^0=1$ .) Kornpholkrit Weraarchakul

5 Sea $ABC$ un triángulo escaleno cuya circunferencia inscrita es tangente a $BC$ , $CA$ , $AB$ en $D$ , $E$ , $F$ respectivamente. Las rectas $BE$ y $CF$ se cortan en $G$ . Demuestre que existe un punto $X$ sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $EFG$ tal que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BCX$ y $EFG$ son tangentes, y \[\angle BGC = \angle BXC + \angle EDF.\] Kornpholkrit Weraarchakul

6 Sea $n$ un entero positivo impar y considere un tablero de ajedrez $n \times n$ de $n^2$ casillas unitarias. En algunas de las casillas del tablero colocamos un caballo. Se dice que un caballo en una casilla $c$ ataca a una casilla $c'$ si la distancia entre los centros de $c$ y $c'$ es exactamente $\sqrt{5}$ (en particular, un caballo no ataca la casilla que ocupa). Suponga que cada casilla del tablero es atacada por un número par de caballos (posiblemente cero). Muestre que la configuración de caballos es simétrica respecto a los cuatro ejes de simetría del tablero (es decir, la configuración de caballos es simétrica tanto horizontal como verticalmente, y además no cambia al reflejarla a lo largo de cualquiera de las dos diagonales del tablero de ajedrez). NIkolai Beluhov