5 Sea $S$ el conjunto de todos los $5^6$ enteros positivos cuya representación decimal consta exactamente de 6 dígitos impares. Encuentra el número de soluciones $(x,y,z)$ de la ecuación $x+y=10z$, donde $x\in S$, $y\in S$, $z\in S$.

6 16 equipos de la NHL en la primera ronda de playoffs se dividen en parejas y juegan series hasta 4 victorias (así la serie podría terminar con marcador 4-0, 4-1, 4-2 o 4-3). Después, los 8 ganadores de las series juegan la segunda ronda de playoffs divididos en 4 parejas para jugar series hasta 4 victorias, y así sucesivamente. Después de que toda la ronda final termina, resulta que $k$ equipos tienen balance no negativo de victorias (por ejemplo, el equipo que ganó en la primera ronda con marcador 4-2 y perdió en la segunda con marcador 4-3 cumple la condición: tiene $4+3=7$ victorias y $2+4=6$ derrotas). Encuentra el menor $k$ posible.

Se toma un punto \(P\) sobre el cateto \(CB\) del triángulo rectángulo \(ABC\) (con \(\angle ACB = 90^\circ\)). La recta \(AP\) corta a la circunferencia circunscrita de \(ABC\) en el punto \(Q\). Sea \(L\) el punto medio de \(PB\). Demuestra que \(QL\) es tangente a una circunferencia fija independiente de la elección del punto \(P\).

8 Paul puede escribir el polinomio $(x+1)^n$, expandirlo y simplificarlo, y después cambiar cada coeficiente por su recíproco. Por ejemplo, si $n=3$, Paul obtiene $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$ y luego $x^3+\frac13x^2+\frac13x+1$. Demuestra que Paul puede elegir un $n$ para el cual la suma de los coeficientes del polinomio de Paul sea menor que $2.022$.

1 Dada una tabla rectangular con 2 filas y 100 columnas. Dima llena las celdas de la primera fila con números 1, 2 o 3. Demuestra que Alex puede llenar las celdas de la segunda fila con números 1, 2 o 3 de tal manera que los números en cada columna sean diferentes y la suma de los números en la segunda fila sea igual a 200.

2 Demuestra que existen infinitos enteros positivos que se pueden representar como $(a-1)/b + (b-1)/c + (c-1)/a$, donde $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos mayores que 1 y distintos entre sí.

¿Existen 100 puntos en el plano tales que las distancias entre cada par de ellos sean números enteros consecutivos distintos entre sí y mayores que 2022?

4 Sea $\omega$ tangente a los lados de un ángulo agudo con vértice $A$ en los puntos $B$ y $C$. Sea $D$ un punto arbitrario en el arco mayor $BC$ de la circunferencia $\omega$. Los puntos $E$ y $F$ se eligen dentro del ángulo $DAC$ de modo que los cuadriláteros $ABDF$ y $ACED$ sean cíclicos y los puntos $A,E,F$ estén sobre la misma recta. Demuestra que las rectas $BE$ y $CF$ se cortan en $\omega$.

5 Ver Juniors

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $P$ un punto sobre la circunferencia $(ABC)$, y $Q$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $AP\perp BC$ y $BQ\perp AC$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $APQ$. Encuentra el ángulo $OBC$.