8 Desde cada vértice del triángulo $ABC$ trazamos dos rayos, uno rojo y uno azul, simétricos respecto a la bisectriz del ángulo correspondiente. Se consideran las circunferencias circunscritas de los triángulos formados por la intersección de los rayos del mismo color. Demuestre que si la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ es tangente a una de estas circunferencias, entonces también es tangente a la otra.

1 Demuestre que no es posible que los números $(n+1)\cdot 2^n$ y $(n+3)\cdot 2^{n+2}$ sean cuadrados perfectos, donde $n$ es un entero positivo.

6 Se da un número natural $n > 5$ . En una tira circular de papel está escrita una sucesión de ceros y unos. Para cada sucesión $w$ de $n$ ceros y unos contamos el número de maneras de recortar de la tira un fragmento en el que esté escrita $w$ . Resultó que el mayor número $M$ se alcanza para la sucesión $11 00...0$ ( $n-2$ ceros) y el menor, para la sucesión $00...011$ ( $n-2$ ceros). Demuestre que hay otra sucesión de $n$ ceros y unos que ocurre exactamente $M$ veces.

2 Sea $S$ el conjunto de los enteros positivos. Para cualesquiera $a$ y $b$ en el conjunto se tiene que $GCD(a, b)>1$. Para cualesquiera $a$, $b$ y $c$ en el conjunto se tiene que $GCD(a, b, c)=1$. ¿Es posible que $S$ tenga $2012$ elementos? Propuesto por Ognjen Stipetić.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo con $AD > BC$ , A $B$ no siendo un diámetro y $C D$ perteneciendo al arco menor $AB$ de la circunferencia circunscrita. Las semirrectas $AD$ y $BC$ se cortan en $K$ , las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $P$ y la recta $KP$ corta al lado $AB$ en el punto $L$ . Demuestre que el ángulo $\angle ALK$ es agudo.

1 En cada uno de los distintos grados de una escuela secundaria hay un número impar de alumnos. Cada alumno tiene un mejor amigo (que posiblemente está en otro grado). Todos son el mejor amigo de su mejor amigo. En la próxima excursión escolar, cada alumno irá a Roma o a París. Muestre que los alumnos pueden distribuirse entre los dos destinos de manera que (i) cada estudiante vaya al mismo destino que su mejor amigo; (ii) para cada grado, la diferencia absoluta entre el número de alumnos que van a Roma y el de los que van a París sea igual a $1$ .

3 Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo, sean $m_a,m_b,m_c$ las medianas correspondientes, y sea $D$ el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo. Demuestre que $\frac{a^2+b^2}{m_c}+\frac{a^2+c^2}{m_b}+\frac{b^2+c^2}{m_a} \leq 6D$ .

3 Hay algunas ciudades a ambos lados de un río y hay algunos canales de navegación entre las ciudades. Cada canal de navegación conecta exactamente una ciudad de un lado del río con una ciudad del otro lado. Cada ciudad tiene exactamente $k$ canales de navegación. Para cada dos ciudades, hay un camino que las conecta. Demuestre que si eliminamos cualquier canal de navegación (solo uno), entonces nuevamente para cada dos ciudades hay un camino que las conecta. ( $( k \geq 2)$ ) Amir

1 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A=90^\circ.$ Las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$ se intersecan en $I$ e intersecan los lados $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Demuestre que $S_{BCDE}=2S_{BIC},$ donde $S$ es la función área. [asy] import graph; size(200); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen ttqqcc = rgb(0.2,0,0.8); pen qqwuqq = rgb(0,0.39,0); pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1); pen fftttt = rgb(1,0.2,0.2); pen ccccff = rgb(0.8,0.8,1); draw((1.89,4.08)--(1.89,4.55)--(1.42,4.55)--(1.42,4.08)--cycle,qqwuqq); draw((1.42,4.08)--(7.42,4.1),ttqqcc+linewidth(1.6pt)); draw((1.4,10.08)--(1.42,4.08),ttqqcc+linewidth(1.6pt)); draw((1.4,10.08)--(7.42,4.1),ttqqcc+linewidth(1.6pt)); draw((1.4,10.08)--(4,4.09),fftttt+linewidth(1.2pt)); draw((7.42,4.1)--(1.41,6.24),fftttt+linewidth(1.2pt)); draw((1.41,6.24)--(4,4.09),ccccff+linetype("5pt 5pt")); dot((1.42,4.08),ds); label("$A$", (1.1,3.66),NE*lsf); dot((7.42,4.1),ds); label("$B$", (7.15,3.75),NE*lsf); dot((1.4,10.08),ds); label("$C$", (1.49,10.22),NE*lsf); dot((4,4.09),ds); label("$E$", (3.96,3.46),NE*lsf); dot((1.41,6.24),ds); label("$D$", (0.9,6.17),NE*lsf); dot((3.37,5.54),ds); label("$I$", (3.45,5.69),NE*lsf); clip((-6.47,-7.49)--(-6.47,11.47)--(16.06,11.47)--(16.06,-7.49)--cycle); [/asy] Amir

1 . Halle todas las ternas $(x, y, z)$ , $x > y > z$ , de enteros positivos tales que $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}= 1$