69 Sea \( Q \) el centro de la circunferencia inscrita de un triángulo \( ABC \). Demuestra que para cualquier punto \( P \), \[ a(PA)^2 + b(PB)^2 + c(PC)^2 = a(QA)^2 + b(QB)^2 + c(QC)^2 + (a + b + c)(QP)^2, \] donde \( a = BC \), \( b = CA \) y \( c = AB \).

56 Dado un conjunto de 1988 puntos en el plano. No hay cuatro puntos del conjunto que sean colineales. Los puntos de un subconjunto con 1788 puntos están coloreados de azul, los 200 restantes de rojo. Demuestra que existe una recta en el plano tal que cada una de las dos partes en las que la recta divide al plano contiene 894 puntos azules y 100 puntos rojos.

52 $ ABCD$ es un cuadrilátero. $ A'BCD'$ es el reflejo de $ ABCD$ respecto a $ BC,$ $ A''B'CD'$ es el reflejo de $ A'BCD'$ respecto a $ CD'$ y $ A''B''C'D'$ es el reflejo de $ A''B'CD'$ respecto a $ D'A''.$ Demuestra que; si las rectas $ AA''$ y $ BB''$ son paralelas, entonces $ ABCD$ es un cuadrilátero cíclico.

54 Encuentra el menor número natural $ n$ tal que, si el conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ se divide arbitrariamente en dos subconjuntos disjuntos, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos sea igual al tercero.

2016 g5 Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo acutángulo. La mediatriz del lado $A_1A_2$ y la paralela a $A_1A_3$ que pasa por $A_2$ se intersecan en $P_1$ , la mediatriz del lado $A_1A_3$ y la paralela a $A_1A_2$ que pasa por $A_3$ se intersecan en $Q_1$ y sea $M_1$ el punto medio del segmento $P_1Q_1$ . De manera análoga se definen los puntos $M_2$ y $M_3$ . Demuestre que la circunferencia inscrita del triángulo $M_1M_2M_3$ pasa por los puntos medios de los lados de $A_1A_2A_3$ .

6 Halle todas las funciones $f: \mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R^+$ que satisfacen la siguiente condición: para cualesquiera tres números reales distintos $a,b,c$ , se puede formar un triángulo con lados de longitudes $a,b,c$ , si y solo si se puede formar un triángulo con lados de longitudes $f(a),f(b),f(c)$ .

61 Cuarenta y nueve estudiantes resuelven un conjunto de 3 problemas. La puntuación de cada problema es un número entero de puntos de 0 a 7. Demuestra que existen dos estudiantes $ A$ y $ B$ tales que, para cada problema, $ A$ obtendrá al menos tantos puntos como $ B.$

55 Supón que $\alpha_i > 0, \beta_i > 0$ para $1 \leq i \leq n, n > 1$ y que \[ \sum^n_{i=1} \alpha_i = \sum^n_{i=1} \beta_i = \pi. \] Demuestra que \[ \sum^n_{i=1} \frac{\cos(\beta_i)}{\sin(\alpha_i)} \leq \sum^n_{i=1} \cot(\alpha_i). \]

62 Sea $x = p, y = q, z = r, w = s$ la solución única del sistema de ecuaciones lineales \[ x + a_i \cdot y + a^2_i \cdot z + a^3_i \cdot w = a^4_i, i = 1,2,3,4. \] Expresa las soluciones del siguiente sistema en términos de $p,q,r$ y $s:$ \[ x + a^2_i \cdot y + a^4_i \cdot z + a^6_i \cdot w = a^8_i, i = 1,2,3,4. \] Supón la unicidad de la solución.

58 Para un polígono convexo $P$ en el plano, sea $P'$ el polígono convexo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $P.$ Dado un entero $n \geq 3,$ determina cotas exactas para la razón \[ \frac{\text{área } P'}{\text{área } P}, \] sobre todos los $n$ - gonos convexos $P.$