10 Sean $r_1, \ldots , r_n$ los radios de $n$ esferas. Llama $S_1, S_2, \ldots , S_n$ a las áreas de los conjuntos de puntos de cada esfera desde los cuales no se puede ver ningún punto de ninguna otra esfera. Demuestra que \[\frac{S_1}{r_1^2} + \frac{S_2}{r_2^2}+\cdots+\frac{S_n}{r_n^2} = 4 \pi.\] Amir

40 Demuestre que un tetraedro con una sola arista de longitud mayor que $1$ tiene volumen a lo sumo $ \frac{1}{8}.$

41 Se traza una recta $l$ por el punto de intersección $H$ de las alturas de un triángulo acutángulo. Demuestre que las imágenes simétricas $l_a, l_b, l_c$ de $l$ con respecto a los lados $BC,CA,AB$ tienen un punto en común, que está sobre la circunferencia circunscrita de $ABC.$

42 Descomponga la expresión en factores reales: \[E = 1 - \sin^5(x) - \cos^5(x).\]

43 Se da la ecuación \[x^5 + 5 \lambda x^4 - x^3 + (\lambda \alpha - 4)x^2 - (8 \lambda + 3)x + \lambda \alpha - 2 = 0\]. Determine $\alpha$ de modo que la ecuación dada tenga exactamente (i) una raíz o (ii) dos raíces, respectivamente, independientes de $\lambda.$

44 Suponga que $p$ y $q$ son dos enteros positivos distintos y $x$ es un número real. Forme el producto $(x+p)(x+q).$ Halle la suma $S(x,n) = \sum (x+p)(x+q),$ donde $p$ y $q$ toman valores de 1 a $n.$ ¿Existen valores enteros de $x$ para los cuales $S(x,n) = 0.$

6 Hay un torneo de ping pong con $n\geq 3$ participantes a los que llamaremos $1, 2, \dots n$. Las reglas del torneo son las siguientes: al comienzo, todos los jugadores forman una fila, ordenados de $1$ a $n$. Los jugadores $1$ y $2$ juegan el primer partido. El ganador queda al comienzo de la fila y el perdedor se coloca detrás de la última persona de la fila. En la siguiente jugada, los dos que en ese momento son los dos primeros de la fila se enfrentan, el ganador queda primero en la fila y el perdedor va al final de la fila, justo detrás del último perdedor. Y así sucesivamente. Después de $N$ partidos, el torneo termina. El jugador número $1$ ganó $a_1$ partidos, el jugador número $2$ ganó $a_2$, y así sucesivamente hasta el jugador $n$, que ganó $a_n$ partidos (es trivial que $a_1+a_2+\dots+a_n=N)$. Determine cuántos juegos ha perdido cada jugador, en función de $a_1, a_2, \dots , a_n$

47 Demuestre la siguiente desigualdad: \[\prod^k_{i=1} x_i \cdot \sum^k_{i=1} x^{n-1}_i \leq \sum^k_{i=1} x^{n+k-1}_i,\] donde $x_i > 0,$ $k \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}.$

48 Determine todas las raíces positivas de la ecuación $ x^x = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

49 Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que $1 \leq n \leq N+1$ , $1 \leq k \leq N+1$ . Muestre que: \[ \min_{n \neq k} |\sin n - \sin k| < \frac{2}{N}. \]