3 Un binoku es una cuadrícula de $9 \times 9$ que está dividida en nueve subcuadrículas de $3 \times 3$ con las siguientes propiedades: - cada celda contiene un $0$ o un $1$ , - cada fila contiene al menos un $0$ y al menos un $1$ , - cada columna contiene al menos un $0$ y al menos un $1$ , y - cada una de las nueve subcuadrículas contiene al menos un $0$ y al menos un $1$ . Un binoku incompleto se obtiene de un binoku eliminando los números de algunas de las celdas. ¿Cuál es el mayor número de celdas vacías que puede contener un binoku incompleto si puede completarse hasta convertirse en un binoku de manera única? Propuesto por Stijn Cambie, Corea del Sur

4 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $AI$ que corta a $BC$ en $D$ . Sea $E$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $CD=CE$ y sea $F$ sobre el segmento $AB$ tal que $BF=BD$ . Sea $(CEI) \cap (DFI)=P \neq I$ y $(BFI) \cap (DEI)=Q \neq I$ . Demuestre que $PQ \perp BC$ . Propuesto por Leonardo Franchi, Italia

5 En el plano se eligen $2022$ puntos de modo que no haya tres puntos sobre la misma recta. Cada uno de los puntos se colorea de rojo o de azul de modo que cada triángulo formado por tres puntos rojos distintos contenga al menos un punto azul. ¿Cuál es el mayor número posible de puntos rojos? Propuesto por Art Waeterschoot, Bélgica

6 Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para todos los enteros positivos $m, n$ , $$m+n \mid P^{(m)}(n)-P^{(n)}(m).$$ Propuesto por Navid Safaei, Irán

2 Halle todos los números naturales $n$ tales que la suma de los tres divisores más grandes de $n$ sea $1457$ .

1 Decida si hay infinitos primos $p$ que tengan un múltiplo de la forma $n^2 + n + 1$ para algún número natural $n$

1 Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros que satisfacen la igualdad $\sqrt{x-\sqrt{y}}+ \sqrt{x+\sqrt{y}}= \sqrt{xy}$

5 El punto $M$ es el punto medio del lado $AB$ de un triángulo acutángulo $ABC$ . El punto $P$ está sobre el segmento $AB$ , y los puntos $S_1$ y $S_2$ son los centros de las circunferencias circunscritas de $APC$ y $BPC$ , respectivamente. Demuestre que el punto medio del segmento $S_1S_2$ está sobre la mediatriz del segmento $CM$ .

2 Cada entero positivo debe colorearse de rojo o de verde de modo que se cumplan las dos condiciones siguientes: - Sea $n$ cualquier número rojo. La suma de cualesquiera $n$ números rojos (no necesariamente distintos) es roja. - Sea $m$ cualquier número verde. La suma de cualesquiera $m$ números verdes (no necesariamente distintos) es verde. Determine todos los coloreos de este tipo.

4 Determine el mayor número de dos cifras $d$ con la siguiente propiedad: para cualquier número de seis cifras $\overline{aabbcc}$ , el número $d$ es divisor del número $\overline{aabbcc}$ si y solo si el número $d$ es divisor del correspondiente número de tres cifras $\overline{abc}$ . Nota: Los números $a \ne 0, b$ y $c$ no necesitan ser distintos.