4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sea $E$ la intersección de sus diagonales. Supón que $CD = BC = BE$. Demuestra que $AD + DC \ge AB$. Propuesto por Dominik Burek - Polonia

4 Sea $M$ un subconjunto del conjunto de $2021$ enteros $\{1, 2, 3, ..., 2021\}$ tal que para cualesquiera tres elementos (no necesariamente distintos) $a, b, c$ de $M$ se tiene $|a + b - c | > 10$ . Determine el mayor número posible de elementos de $M$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con circuncentro $O$ . Sea $D$ el pie de la altura trazada desde $A$ al lado $BC$ . Las rectas $BC$ y $AO$ se intersecan en $E$ . Sea $s$ la recta que pasa por $E$ perpendicular a $AO$ . La recta $s$ interseca a $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Denote por $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AKL$ . La recta $AD$ interseca nuevamente a $\omega$ en $X$ . Demuestre que $\omega$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $DEX$ tienen un punto en común.

3. Se da el triángulo $ABC$ , donde $AC<BC$ y $\angle ACB=60^\circ\!\!.$ El punto $D$ , distinto de $A$ , se encuentra en el segmento $AC$ tal que $AB=BD$ , y el punto $E$ , distinto de $B$ , se encuentra en la recta $BC$ tal que $AB=AE$ . Demuestre que $\angle DEC=30^\circ$ .

4 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ , tales que 1) $f(0,x)$ sea no decreciente ; 2) para cualesquiera $x,y \in \mathbb{R}$ , $f(x,y)=f(y,x)$ ; 3) para cualesquiera $x,y,z \in \mathbb{R}$ , $(f(x,y)-f(y,z))(f(y,z)-f(z,x))(f(z,x)-f(x,y))=0$ ; 4) para cualesquiera $x,y,a \in \mathbb{R}$ , $f(x+a,y+a)=f(x,y)+a$ .

2 Para cualquier conjunto $A = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}$ de cinco enteros positivos distintos, denote por $S_A$ la suma de sus elementos, y denote por $T_A$ el número de ternas $(i, j, k)$ con $1 \le i < j < k \le 5$ para las cuales $x_i + x_j + x_k$ divide a $S_A$ . Halle el mayor valor posible de $T_A$ .

1 Sea $n$ ( $n \ge 1$ ) un entero. Considere la ecuación $2\cdot \lfloor{\frac{1}{2x}}\rfloor - n + 1 = (n + 1)(1 - nx)$ , donde $x$ es la variable real desconocida. (a) Resuelva la ecuación para $n = 8$ . (b) Demuestre que existe un entero $n$ para el cual la ecuación tiene al menos $2021$ soluciones. (Para cualquier número real $y$ , con $\lfloor{y} \rfloor$ denotamos el mayor entero $m$ tal que $m \le y$ . )

Los triángulos $AB'C, CA'B$ y $BC'A$ se construyen sobre los lados del triángulo equilátero $ABC.$ En el hexágono resultante $AB'CA'BC'$ cada uno de los ángulos $\angle A'BC',\angle C'AB'$ y $\angle B'CA'$ es mayor que $120^\circ$ y los lados satisfacen las igualdades $AB' = AC',BC' = BA'$ y $CA' = CB'.$ Demuestre que los segmentos $AB',BC'$ y $CA'$ pueden formar un triángulo. David Brodsky

¿Es posible colorear todos los enteros mayores que $1{}$ con tres colores (cada entero con un color, y deben usarse los tres colores) de modo que el color del producto de cualesquiera dos números de colores diferentes sea distinto del color de cada uno de los factores?

Un pentágono $ABCDE$ está circunscrito a una circunferencia. Los ángulos en los vértices $A{}$ , $C{}$ y $E{}$ del pentágono son iguales a $100^\circ$ . Halle la medida del ángulo $\angle ACE$ .