4 Llamemos número de punto flotante a un número natural $m$ si puede escribirse como la suma de varios números naturales (no necesariamente distintos) tales que la suma de todos los recíprocos sea igual a $1$ . Por ejemplo, $11$ es un número de punto flotante porque $$11 = 2+3+6 \,\,\, and \,\,\, 1=\frac12 +\frac13+\frac16$$ a) Demuestre que $28$ es un número de punto flotante. b) ¿Es $58$ un número de punto flotante? c) ¿Es $65$ un número de punto flotante? d) ¿Es $2009$ un número de punto flotante?

1 Dado que $$M =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$$ donde $a,b,c$ y $d$ son enteros. a) ¿Es $M$ siempre divisible por $12$ ? b) ¿Es $M$ siempre divisible por $24$ ? .

2 La bisectriz $AL$ del triángulo $ABC$ es igual al lado $AC$ . Hay un punto $K$ en esta bisectriz tal que $CK = BL$ . Demuestre que el ángulo $CKL$ es igual al ángulo $ABC$ .

3 Halle todos los números naturales $n$ para los cuales $n^7+n^2+1$ es un número primo.

4 En el pizarrón están escritos los $1004$ números: $2,4,6, ..., 2008$ . Dos jugadores eligen alternadamente cualquier número escrito en el pizarrón, lo borran y escriben en su lugar un número una unidad menor. Además, si aparece un cero en el pizarrón, se borra de inmediato, y si aparecen dos números idénticos, uno de ellos se borra. Gana el jugador cuyo oponente borra el último número. Demuestre que el jugador que comienza el juego puede ganar siempre, sin importar cómo juegue el segundo jugador. ¿Cómo debe jugar el jugador que comienza?

3 Demuestre que si $a+b+c=0$ , entonces $(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$ .

1 Dados $2005$ números $$1^2 \,\,\, 2^2 \,\,\,3^2 \,\,\,... \,\,\,2005^2$$ Cada uno de ellos puede ir precedido de $+$ o $-$ . ¿Cuál es el número no negativo más pequeño que se puede obtener al realizar las operaciones aritméticas?

2 En un cuadrado blanco $7\times 7$ dividido en casillas unitarias, $29$ casillas están sombreadas. Demuestre que siempre es posible encontrar una «esquina» formada por tres casillas sombreadas.

4 Halle la cardinalidad máxima $|S|$ del subconjunto $S \subset A=\{1, 2, 3, \dots, 9\}$ dado que no hay dos sumas $a+b | a, b \in S, a \neq b$ que sean iguales.

4 La función $f(x)$ está definida para números positivos, toma valores positivos y satisface la ecuación $$ f(x)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{x}{y}\right).$$ a) Mencione al menos tres de tales funciones. b) Demuestre que $f(x) \ge 2$ , $f(1)=2$ . c) Demuestre que si $f(x)$ satisface la condición, entonces la función $f^2(x)-2$ también la satisface.