6 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que \[\left((3a^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{b}\right)^2\right)\left((3b^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{c}\right)^2\right)\left((3c^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{a}\right)^2\right)\geq 48^3\]

3 Sea $S(x)$ la suma de los dígitos decimales de $x$ . ¿Existen números naturales $a,b,c$ tales que \[ S(a+b)<5, \quad S(b+c)<5, \quad S(c+a)<5, \quad S(a+b+c)> 50? \]

2 Un polígono convexo se particiona en paralelogramos. Un vértice del polígono se llama bueno si pertenece exactamente a un paralelogramo. Demuestre que hay más de dos vértices buenos.

1 El ángulo formado por los rayos $y=x$ y $y=2x$ ( $x \ge 0$ ) corta dos arcos de una parábola dada $y=x^2+px+q$ . Demuestre que la proyección de uno de los arcos sobre el eje $x$ es más corta en $1$ que la del segundo arco.

8 Hay $2000$ componentes en un circuito, cada dos de los cuales estaban inicialmente unidos por un cable. Los gamberros Vasya y Petya cortan los cables uno tras otro. Vasya, que empieza, corta un cable en su turno, mientras que Petya corta dos o tres. El gamberro que corta el último cable de algún componente pierde. ¿Quién tiene la estrategia ganadora?

7 Por el vértice $A$ de un tetraedro $ABCD$ pasa un plano tangente a la esfera circunscrita del tetraedro. Demuestre que las rectas de intersección del plano con los planos $ABC$ , $ABD$ , $ACD$ forman seis ángulos iguales si y solo si: \[AB\cdot CD=AC\cdot BD=AD\cdot BC\]

6 Tres polígonos convexos están dados en un plano. Demuestre que no existe una recta que corte a todos los polígonos si y solo si cada uno de los polígonos puede ser separado de los otros dos por una recta.

5 Cuatro números naturales son tales que el cuadrado de la suma de cualesquiera dos de ellos es divisible por el producto de los otros dos números. Demuestre que al menos tres de estos números son iguales.

3 Un círculo es tangente a los lados $DA$ , $AB$ , $BC$ , $CD$ de un cuadrilátero $ABCD$ en los puntos $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , respectivamente. Sean $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ respectivamente las circunferencias inscritas de los triángulos $AKL$ , $BLM$ , $CMN$ , $DNK$ . Se trazan las tangentes externas comunes distintas de los lados de $ABCD$ a $S_1$ y $S_2$ , $S_2$ y $S_3$ , $S_3$ y $S_4$ , $S_4$ y $S_1$ . Demuestre que estas cuatro tangentes determinan un rombo.

Mugdho y Dipto juegan un juego en una fila numerada de $n \geq 5$ casillas. Al comienzo, se coloca una piedra en la primera casilla y luego los jugadores hacen movimientos consecutivos; comienza Mugdho. Durante un movimiento, un jugador puede elegir una de las siguientes opciones: mover la piedra una casilla hacia la derecha; mover la piedra cuatro casillas hacia la derecha; mover la piedra dos casillas hacia la izquierda. Todos los movimientos posibles solo están permitidos si la piedra permanece dentro de los bordes de la fila de casillas. El jugador que mueve la piedra a la última casilla (es decir, la $n$ -ésima) gana. Determine para qué valores de $n$ cada uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.