1 Se dan el polinomio $P(x)$ y los números $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ tales que $a_1a_2a_3\not=0$ . Suponga que para todo $x$ se tiene \[P(a_1x+b_1)+P(a_2x+b_2)=P(a_3x+b_3)\] Demuestre que el polinomio $P(x)$ tiene al menos una raíz real.

2 Los puntos $A_1,B_1,C_1$ se encuentran sobre los lados $BC,CA$ y $AB$ del triángulo $ABC$ , respectivamente. Suponga que $AB_1-AC_1=CA_1-CB_1=BC_1-BA_1$ . Sean $O_A,O_B$ y $O_C$ los circuncentros de los triángulos $AB_1C_1,A_1BC_1$ y $A_1B_1C$ , respectivamente. Demuestre que el incentro del triángulo $O_AO_BO_C$ es también el incentro del triángulo $ABC$ .

1 Inicialmente, hay $111$ trozos de arcilla de igual masa sobre la mesa. En un turno, se pueden elegir varios grupos con el mismo número de trozos y unir los trozos de cada grupo en un solo trozo grande. ¿Cuál es el menor número de turnos tras el cual se puede terminar con $11$ trozos tales que no haya dos con la misma masa?

2 El círculo inscrito $\omega$ del triángulo acutángulo no isósceles $ABC$ es tangente al lado $BC$ en el punto $D$ . Suponga que $I$ y $O$ son los centros del círculo inscrito y del circuncírculo del triángulo $ABC$ respectivamente. El circuncírculo del triángulo $ADI$ interseca a $AO$ en los puntos $A$ y $E$ . Demuestre que $AE$ es igual al radio $r$ de $\omega$ .

2 Dos cualesquiera de los números reales $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ difieren en no menos de $1$ . Existe un número real $k$ que satisface \[a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=2k\] \[a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=2k^2\] Demuestre que $k^2\ge 25/3$ .

3 Un plano está coloreado en cuadrados blancos y negros formando un patrón de tablero de ajedrez. Luego, todos los cuadrados blancos se colorean de rojo y azul de modo que cualesquiera dos cuadrados inicialmente blancos que compartan un vértice tengan colores distintos. (Uno es rojo y el otro es azul.) Sea $\ell$ una recta no paralela a los lados de ningún cuadrado. Para todo segmento $I$ paralelo a $\ell$ , se puede calcular la diferencia entre la longitud de sus áreas roja y azul. Demuestre que para toda recta $\ell$ de este tipo existe un número $C$ que supera todas esas diferencias que se pueden calcular.

3 En un plano cartesiano se dibujan $n$ parábolas, todas ellas gráficas de trinomios cuadráticos. No hay dos de ellas tangentes. Dividen el plano en muchas regiones, una de las cuales está por encima de todas las parábolas. Demuestre que la frontera de esta región tiene a lo sumo $2(n-1)$ vértices (es decir, las intersecciones de un par de parábolas).

3 Cualesquiera dos de los números reales $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ difieren en no menos de $1$ . Existe algún número real $k$ que satisface \[a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=2k\] \[a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=2k^2\] Demuestre que $k^2\ge 25/3$ .

4 Se da una pirámide $SA_1A_2A_3\ldots A_n$ cuya base es el polígono convexo $A_1A_2A_3\ldots A_n$ . Para cada $i=1,2,3,\ldots ,n$ existe un triángulo $X_iA_iA_{i+1} $ congruente con el triángulo $SA_iA_{i+1}$ que se encuentra en el mismo lado de $A_iA_{i+1}$ que la base de esa pirámide. (Se puede suponer que $a_1$ es lo mismo que $a_{n+1}$ . ) Demuestre que estos triángulos juntos cubren toda la base.

2 ¿Existen números naturales $a,b,c$ todos mayores que $10^{10}$ tales que su producto sea divisible por cada uno de estos números aumentado en $2012$ ?