45 (i) Resuelva la ecuación: \[ \sin^3(x) + \sin^3\left( \frac{2 \pi}{3} + x\right) + \sin^3\left( \frac{4 \pi}{3} + x\right) + \frac{3}{4} \cos {2x} = 0.\] (ii) Suponiendo que las soluciones tienen la forma de arcos $AB$ con un extremo en el punto $A$ , el comienzo de los arcos del círculo trigonométrico, y $P$ es un polígono regular inscrito en el círculo con un vértice en $A$ , halle: 1) los subconjuntos de arcos cuyo otro extremo $B$ está en uno de los vértices del dodecágono regular; 2) demuestre que ninguna solución puede tener el extremo $B$ en uno de los vértices del polígono $P$ cuyo número de lados es primo o tiene factores distintos de 2 o 3.

46 Si $x,y,z$ son números reales que satisfacen las relaciones \[x+y+z = 1 \quad \textrm{and} \quad \arctan x + \arctan y + \arctan z = \frac{\pi}{4},\] demuestre que $x^{2n+1} + y^{2n+1} + z^{2n+1} = 1$ se cumple para todos los enteros positivos $n$ .

47 Demuestre la siguiente desigualdad: \[\prod^k_{i=1} x_i \cdot \sum^k_{i=1} x^{n-1}_i \leq \sum^k_{i=1} x^{n+k-1}_i,\] donde $x_i > 0,$ $k \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}.$

48 Determine todas las raíces positivas de la ecuación $ x^x = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

49 Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que $1 \leq n \leq N+1$ , $1 \leq k \leq N+1$ . Muestre que: \[ \min_{n \neq k} |\sin n - \sin k| < \frac{2}{N}. \]

50 La función $\varphi(x,y,z)$ definida para todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales es tal que existen dos funciones $f$ y $g$ definidas para todos los pares de números reales, tales que \[\varphi(x,y,z) = f(x+y,z) = g(x,y+z)\] para todos los números reales $x,y$ y $z.$ Muestre que existe una función $h$ de una variable real, tal que \[\varphi(x,y,z) = h(x+y+z)\] para todos los números reales $x,y$ y $z.$

9.5 Un punto $D$ está en el lado lateral $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ . El rayo $AD$ corta a la recta que pasa por $B$ y es paralela a la base $AC$ en el punto $E$ . Demuestre que la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ en $B$ biseca a $EC$ .

51 Se dice que un subconjunto $S$ del conjunto de los enteros 0 - 99 tiene la propiedad $A$ si es imposible llenar un crucigrama de 2 filas y 2 columnas con números de $S$ (0 se escribe como 00, 1 como 01, y así sucesivamente). Determine el número máximo de elementos del conjunto $S$ con la propiedad $A.$

52 En el plano se dan un punto $O$ y una sucesión de puntos $P_1, P_2, P_3, \ldots$ . Las distancias $OP_1, OP_2, OP_3, \ldots$ son $r_1, r_2, r_3, \ldots$ Sea $\alpha$ tal que $0 < \alpha < 1.$ Suponga que para todo $n$ la distancia del punto $P_n$ a cualquier otro punto de la sucesión es $\geq r^{\alpha}_n.$ Determine el exponente $\beta$ , lo más grande posible, tal que para alguna constante $C$ independiente de $n$ \[r_n \geq Cn^{\beta}, n = 1,2, \ldots\]

57 Sean $a_1,\ldots,a_8$ números reales, no todos iguales a cero. Sea \[ c_n = \sum^8_{k=1} a^n_k\] para $n=1,2,3,\ldots$ . Dado que entre los números de la sucesión $(c_n)$ hay infinitos iguales a cero, determine todos los valores de $n$ para los cuales $c_n = 0.$