2 Halle todos los pares de números reales $(x,y)$ que satisfacen $\left\{\begin{array}{rl} 2x^2+xy &=1 \\ \frac{9x^2}{2(1-x)^4}&=1+\frac{3xy}{2(1-x)^2} \end{array}\right.$

3 Considere el triángulo obtusángulo $\triangle ABC$ y sus longitudes de lado $a,b,c$ . Demuestre que $a^3\cos\angle A +b^3\cos\angle B + c^3\cos\angle C < abc$ .

4 Sea $n \geq 1$ un entero. ¿Cuál es el número máximo de pares disjuntos de elementos del conjunto $\{ 1,2,\ldots , n \}$ tales que las sumas de los distintos pares sean enteros diferentes que no excedan $n$ ?

1 Considere números reales $x,y,z$ tales que $x,y,z>0$ . Demuestre que \[ (xy+yz+xz)\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{x^2+z^2}+\frac{1}{y^2+z^2}\right) > \frac{5}{2}. \]

2 Considere un tablero de $2013 \times 2013$ casillas; ¿cuál es el número máximo de caballos de ajedrez que se pueden colocar de modo que no haya $2$ que se ataquen entre sí?

3 Considere el triángulo $\triangle ABC$ con $AB \not = AC$ . Sea $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$ . Sea la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ que interseca a $BC$ en el punto $D$ . Sea $E$ la reflexión del punto $D$ respecto al punto medio del segmento $BC$ . Las rectas perpendiculares a $BC$ en los puntos $D,E$ intersecan a las rectas $AO,AD$ en los puntos $X,Y$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $B,X,C,Y$ es cíclico.

4 $p$ es un primo de la forma 4k+3. Demuestre que existen infinitos $p$ que satisfacen $p|2^ny+1$ . $y$ es un entero arbitrario.

2 Sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales positivos tales que $x_1\cdot x_2\cdots x_n=1$ . Demuestre la desigualdad $\frac1{x_1(x_1+1)}+\frac1{x_2(x_2+1)}+\cdots+\frac1{x_n(x_n+1)}\geq\frac n2$

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero y $M$ el punto medio del segmento $AB$ . Exteriormente al cuadrilátero se construyen los triángulos equiláteros $BCE$ , $CDF$ y $DAG$ . Sean $P$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $GF$ y $EF$ . Demuestre que el triángulo $MNP$ es equilátero.

4 Sea $n$ un entero que satisface $n\geq2$ . Halle el mayor entero que no excede la expresión: $E=1+\sqrt{1+\frac{2^2}{3!}}+\sqrt[3]{1+\frac{3^2}{4!}}+\dots+\+\sqrt[n]{1+\frac{n^2}{(n+1)!}}$