Considere un triángulo acutángulo $ABC$, con $AC>AB$, y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. El circuncírculo del triángulo $CEF$ y $\Gamma$ se cortan en $X$ y $C$, con $X\neq C$. La recta $BC$ y la tangente a $\Gamma$ por $A$ se cortan en $Y$. Sea $P$ el punto en el segmento $AB$ tal que $YP=YA$, con $P\neq A$, y sea $Q$ el punto donde se cortan $AB$ y la paralela a $BC$ que pasa por $Y$. Demuestre que $F$ es el punto medio de $PQ$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ tales que se cumplen las siguientes condiciones: (i) $f(n!)=f(n)!$ para todo entero positivo $n$, (ii) si $m,n$ son enteros positivos distintos, entonces $m-n\mid f(m)-f(n)$.

Dados numeros reales $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$, demuestra la siguiente desigualdad y determina cuando se da laigualdad:\n$$\frac{x(x+2)}{2x^2+1}+\frac{y(y+2)}{2y^2+1}+\frac{z(z+2)}{2z^2+1}\geq 0$$

Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos donde para todo elemento $x\in S$ se cumple que todos los divisores de $x$ tambien estan en $S$. Un subconjunto $T\subset S$ es bueno si para todo $x,y\in T$ y $x<y$ se cumple que $\frac{y}{x}$ es una potencia de un primo. Un subconjunto $T\subset S$ es malo si nunca sucede que para $x,y\in T$ $\frac{x}{y}$ es una potencia de un primo. Un conjunto con exactamente un elemento se considera bueno y malo. Sea $k$ el tamaño del subconjunto bueno mas grande de $S$. Demuestra que $k$ tambien es el número mas pequeño tal que $S$ es la union de $k$ subconjuntos malos que sean disjuntos por parejas.

Sea $ABCD$ un cuadrilatero ciclico que no es un trapezio y donde las diagonales se cortan en $E$. Los puntos medios de $AB$ y $CD$ son $F$ y $G$ respectivamente. Sea $\ell$ la linea paralela a $AB$ por $G$. Los pies de las perpendiculares desde $E$ a $\ell$ y $CD$ son $H$ y $K$ respectivamente. Demuestra que $EF$ y $HK$ son perpendiculares.

Considere un polígono regular de $n\geq 4$ lados, y sea $V$ un subconjunto de $r$ vértices del polígono. Demuestre que si $r(r-3)\geq n$, entonces existen al menos dos triángulos congruentes cuyos vértices pertenecen a $V$.

Sea $n$ un entero posiivo. Sea $P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2,\ldots, 3^n\}$. Para cada subconjunto $X\subset P_n$ decimos que $S_X$ es la suma de todos los elementos de $X$. Cuando $X=\emptyset$, $S_\emptyset=0$. Sea $0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}$ un numero real, demuestra que existe un subconjunto $Y\subset P_n$ tal que $0\leq y-S_Y<2^n$.

Encuentra todas las funciones $f:(\mathbb{R}^+)^3\to \mathbb{R}$ tales que para todos los numeros reales positivos $x,y,z,k$ se cumplen las siguientes tres condiciones: (a) $xf(x,y,z)=zf(z,y,x)$ (b) $f(x,ky,kz^2)=kf(x,y,z)$ (c) $f(1,k,k+1)=k+1$.

Sea $ABCDEF$ un hexagono convexo de area $1$, con lados opestos paralelos. Las lineas $AB,CD$ y $EF$ forman los lados de un triangulo. Similarmente los lados $BC,DE$ y $FA$ forman los lados de otro triangulo. Demuestra que almenos uno de estos dos triangulos tiene area mayor o igual a $\frac{3}{2}$.

Sea $P=\{p_1,p_2,\ldots, p_{10}\}$ un conjunto de $10$ primos distintos y sea $A$ el conjunto de todos los enteros mayores que $1$ tales que en su descomposición en factores primos aparecen únicamente primos de $P$. Los elementos de $A$ se colorean de tal forma que: a. cada elemento de $P$ tiene un color distinto, b. si $m,n\in A$, entonces $mn$ tiene el mismo color de $m$ o $n$, c. Para cualquier par de colores distintos $R$ y $S$, no existen $j,k,m,n\in A$ (no necesariamente distintos), con $j,k$ de color $R$ y $m,n$ de color $S$, tales que $j$ divide a $m$ y $n$ divide a $k$, simultáneamente. Demuestre que existe un primo de $P$ tal que todos sus múltiplos en $A$ tienen el mismo color.