1 Demuestre que para $k>10$ Nazar puede reemplazar en el siguiente producto algún $\cos$ por $\sin$ de modo que la nueva función $f_{1}(x)$ satisfaga la desigualdad $|f_{1}(x)|\le 3\cdot 2^{-1-k}$ para todo $x$ real . \[f(x) = \cos x \cos 2x \cos 3x \dots \cos 2^{k}x \] N. Agakhanov N.T.TUAN

2 La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca sus lados $BC$ , $AC$ , $AB$ en los puntos $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , respectivamente. El segmento $AA_{1}$ interseca a la circunferencia inscrita en el punto $Q\ne A_{1}$ . Una recta $\ell$ que pasa por $A$ es paralela a $BC$ . Las rectas $A_{1}C_{1}$ y $A_{1}B_{1}$ intersecan a $\ell$ en los puntos $P$ y $R$ , respectivamente. Demuestre que $\angle PQR=\angle B_{1}QC_{1}$ . A. Polyansky N.T.TUAN

3 Arutyun y Amayak muestran otro truco eficaz. Un espectador escribe en una pizarra una sucesión de $N$ dígitos (decimales). Amayak tapa dos dígitos adyacentes con un disco negro. Luego Arutyun viene y dice ambos dígitos tapados (y su orden). ¿Para cuál $N$ mínimo pueden mostrar tal truco? K. Knop, O. Leontieva N.T.TUAN

4 Una sucesión infinita $(x_{n})$ está definida por su primer término $x_{1}>1$ , que es un número racional, y la relación $x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{\lfloor x_{n}\rfloor}$ para todos los enteros positivos $n$ . Demuestre que esta sucesión contiene un entero. A. Golovanov N.T.TUAN

6 ¿Existen reales no nulos $a$ , $b$ , $c$ tales que, para cualquier $n>3$ , exista un polinomio $P_{n}(x) = x^{n}+\dots+a x^{2}+bx+c$ que tenga exactamente $n$ raíces enteras (no necesariamente distintas)? N. Agakhanov, I. Bogdanov N.T.TUAN

7 Dado un tetraedro $ T$ . Valentin quiere encontrar dos de sus aristas $ a,b$ sin vértices comunes de modo que $ T$ quede cubierto por las esferas con diámetros $ a,b$ . ¿Puede siempre encontrar tal par? A. Zaslavsky N.T.TUAN

8 Dado un grafo no dirigido con $N$ vértices. Para cualquier conjunto de $k$ vértices, donde $1\le k\le N$ , hay a lo sumo $2k-2$ aristas que unen vértices de este conjunto. Demuestre que las aristas pueden colorearse con dos colores de modo que cada ciclo contenga aristas de ambos colores. (El grafo puede contener aristas múltiples). I. Bogdanov, G. Chelnokov N.T.TUAN

1 Dado un tablero de ajedrez de $15\times 15$ . Trazamos una línea poligonal cerrada sin autointersecciones tal que cada lado de la línea poligonal sea un segmento que une los centros de dos casillas adyacentes del tablero. Si esta línea poligonal es simétrica con respecto a una diagonal del tablero, demuestre que la longitud de la línea poligonal es $\leq 200$ . darij

3 Dada una circunferencia y $2006$ puntos sobre ella. Albatross colorea estos $2006$ puntos con $17$ colores. Después, Frankinfueter une algunos de los puntos mediante cuerdas de modo que los extremos de cada cuerda tengan el mismo color y dos cuerdas diferentes no tengan puntos comunes (ni siquiera un extremo común). Con ello, Frankinfueter pretende trazar tantas cuerdas como sea posible, mientras que Albatross trata de obstaculizarlo tanto como pueda. ¿Cuál es el número máximo de cuerdas que Frankinfueter podrá siempre trazar? darij

4 Dado un triángulo $ABC$ . Sea $\omega$ una circunferencia que toca a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $A$ , interseca al lado $AB$ en un punto $K$ , e interseca al lado $BC$ . Sea $CL$ una tangente a la circunferencia $\omega$ , donde el punto $L$ está sobre $\omega$ y el segmento $KL$ interseca al lado $BC$ en un punto $T$ . Demuestre que el segmento $BT$ tiene la misma longitud que la tangente trazada desde el punto $B$ a la circunferencia $\omega$ . darij