3 Un cubo de $4\times4\times4$ está compuesto por $64$ cubos unitarios. Las caras de $16$ cubos unitarios deben colorearse de rojo. Un coloreado se llama interesante si hay exactamente $1$ cubo unitario rojo en cada caja rectangular de $1\times1\times 4$ compuesta por $4$ cubos unitarios. Determine el número de coloreados interesantes.

1 Sea $ABC$ un triángulo no obtusángulo que satisface $AB>AC$ y $\angle B=45^{\circ}$ . El circuncentro $O$ y el incentro $I$ del triángulo $ABC$ son tales que $\sqrt{2}\ OI=AB-AC$ . Halle el valor de $\sin A$ .

2 Dado un entero positivo $n>1$ , determine con demostración si existen $2n$ enteros positivos distintos dos a dos $a_1,\ldots ,a_n,b_1,\ldots b_n$ tales que $a_1+\ldots +a_n=b_1+\ldots +b_n$ y \[n-1>\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i-b_i}{a_i+b_i}>n-1-\frac{1}{1998}.\]

2 Sea $a$ un número real. Sea $(f_n(x))_{n\ge 0}$ una sucesión de polinomios tal que $f_0(x)=1$ y $f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax)$ para todo entero no negativo $n$ . a) Demuestre que $f_n(x)=x^nf_n\left(x^{-1}\right)$ para todo entero no negativo $n$ . b) Halle una expresión explícita para $f_n(x)$ .

3 Una prueba contiene $5$ preguntas de opción múltiple, cada una con $4$ opciones. Suponga que cada examinado eligió una opción para cada pregunta. Existe un número $n$ tal que, para cualesquiera $n$ hojas entre $2000$ hojas de respuestas, hay $4$ hojas de respuestas tales que cualesquiera dos de ellas tienen a lo sumo $3$ preguntas con las mismas respuestas. Halle el valor mínimo de $n$ .

2 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que existen enteros $n_1,\ldots,n_k\ge 3$ , para algún entero $k$ , que satisfacen \[n=n_1n_2\cdots n_k=2^{\frac{1}{2^k}(n_1-1)\cdots (n_k-1)}-1.\]

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle C>\angle B$ . Sea $D$ un punto sobre $BC$ tal que $\angle ADB$ es obtuso, y sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABD$ . Suponga que $F$ es un punto interior del triángulo $ABC$ que está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ . Demuestre que $F$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ si y solo si $HD||CF$ y $H$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ .

3 Sea $S=\{1,2,\ldots ,98\}$ . Halle el menor número natural $n$ tal que podamos escoger $10$ números en cualquier subconjunto de $n$ elementos de $S$ que satisfagan la siguiente condición: no importa cómo dividamos en partes iguales los $10$ números en dos grupos, existe un número en un grupo tal que es coprimo con los demás números de ese grupo, y al mismo tiempo también existe un número en el otro grupo tal que no es coprimo con ninguno de los demás números del mismo grupo.

1 Halle todos los números naturales $n>3$ tales que $2^{2000}$ es divisible por $1+C^1_n+C^2_n+C^3_n$ .

2 Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ que satisface la condición \[DA\cdot DB\cdot AB+DB\cdot DC\cdot BC+DC\cdot DA\cdot CA=AB\cdot BC\cdot CA.\] Determine (con demostración) la posición geométrica del punto $D$ .