Se toma un punto $P$ dentro del cuadrado $ABCD$ tal que $BP + DP=25$, $CP - AP = 15$ y $\angle$ ABP = $\angle$ ADP. ¿Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita de $ABCD$?

Tiham está tratando de encontrar enteros positivos de 6 dígitos $ PQRSTU$ (donde los dígitos de $PQRSTU $ no son necesariamente distintos). Pero solo quiere los números donde la suma del número de 3 dígitos $ PQR$ y el número de 3 dígitos $STU$ es divisible por 37. ¿Cuántos números de este tipo puede encontrar Tiham?

Sea $ABC$ un triángulo donde $\angle$ B=55 y $\angle$ C = 65. D es el punto medio de BC. La circunferencia circunscrita de ACD y ABD corta a AB y AC en los puntos F y E respectivamente. El centro de la circunferencia circunscrita de AEF es O. $\angle$ FDO = ?

Tienes 2020 montones de monedas frente a ti. El primer montón contiene 1 moneda, el segundo montón contiene 2 monedas, el tercer montón contiene 3 monedas y así sucesivamente. Así, el montón número 2020 contiene 2020 monedas. Elija un entero positivo $k$; de los montones que contienen al menos $k$ monedas, retire exactamente $k$ monedas de esos montones. Halle el número mínimo de turnos que necesita para retirar todas estas monedas.

Sokal da intenta encontrar el mayor entero positivo $n$ tal que si $n$ se convierte a base 7, entonces se ve como el doble de su valor en base 10. $156$ es un número así porque $(156)_{10}$ = $(312)_7$ y 312 = 2 $\times$ 1 56. Encuentre el número de Sokal da.

Un número primo $ q $ se llama número 'Kowai' si $ q = p^2 + 10$, donde $q$, $p$, $p^2-2$, $p^2-8$, $p^3+6$ son números primos. Sabemos que se puede encontrar al menos un número 'Kowai'. Halle la suma de todos los números 'Kowai'.

$2^{2921}$ tiene $581$ dígitos y comienza con un $4$. ¿Cuántos $2^n$ comienzan con un $4$, donde $0$ es el último dígito?

1 Halle todos los pares $(p,q)$ de números primos positivos, no necesariamente distintos, tales que la expresión $p^2+3pq+q^2$ sea un cuadrado perfecto; una potencia de $5$.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $\angle DAB = 60^\circ$, $\angle ABC = 90^\circ$ y $\angle BCD = 120^\circ$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $M$. Si $BM = 15$ y $MD = 30$, determine el área del cuadrilátero $ABCD$.

3 Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $$n - \big\lfloor n\big\{\sqrt{n}\big\}\big\rfloor = 2,$$ donde $\lfloor x \rfloor$ y $\{x\}$ denotan, respectivamente, la parte entera y la parte fraccionaria del número real $x$ que encierran. Nota: Por ejemplo, $\lfloor 5.7 \rfloor = 5$ y $\{5.7\} = 0.7$.