4 $A_0B_0C_0$ y $A_1B_1C_1$ son triángulos acutángulos. Describa y demuestre cómo construir el triángulo $ABC$ de mayor área posible que está circunscrito a $A_0B_0C_0$ (de modo que $BC$ contiene a $B_0, CA$ contiene a $B_0$ , y $AB$ contiene a $C_0$ ) y es semejante a $A_1B_1C_1.$

5 Sean $a_1,\ldots,a_8$ números reales, no todos iguales a cero. Sea \[ c_n = \sum^8_{k=1} a^n_k\] para $n=1,2,3,\ldots$ . Dado que entre los números de la sucesión $(c_n)$ hay infinitos iguales a cero, determine todos los valores de $n$ para los cuales $c_n = 0.$

6 En una competencia deportiva se otorgaron un total de $m$ medallas a lo largo de $n$ días. En el primer día se otorgaron una medalla y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes. En el segundo día se otorgaron dos medallas y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes, y así sucesivamente. En el último día se otorgaron las $n$ medallas restantes. ¿Cuántos días duró la competencia y cuál fue el número total de medallas ?

2 Halle todos los números naturales $n$ tales que el producto de sus dígitos decimales es $n^2-10n-22$ .

3 Sean $a,b,c$ números reales con $a$ distinto de cero. Se sabe que los números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ satisfacen las $n$ ecuaciones: \[ ax_1^2+bx_1+c = x_{2} \] \[ ax_2^2+bx_2 +c = x_3\] \[ \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots\] \[ ax_n^2+bx_n+c = x_1 \] Demuestre que el sistema tiene cero , una o más de una soluciones reales si $(b-1)^2-4ac$ es negativo , igual a cero o positivo , respectivamente.

4 Demuestre que todo tetraedro tiene un vértice cuyas tres aristas tienen las longitudes adecuadas para formar un triángulo.

5 Sea $f$ una función de valores reales definida para todos los números reales, tal que para algún $a>0$ tenemos \[ f(x+a)={1\over2}+\sqrt{f(x)-f(x)^2} \] para todo $x$ . Demuestre que $f$ es periódica, y dé un ejemplo de una función $f$ no constante de este tipo para $a=1$ .

6 Sea $n$ un número natural. Demuestre que \[ \left\lfloor \frac{n+2^0}{2^1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n+2^1}{2^2} \right\rfloor +\cdots +\left\lfloor \frac{n+2^{n-1}}{2^n}\right\rfloor =n. \] Observación Para cualquier número real $x$ , el número $\lfloor x \rfloor$ representa el mayor entero menor o igual que $x$ .

1 Demuestre que hay infinitos enteros positivos $m$ tales que $n^4+m$ no es primo para ningún entero positivo $n$ .

2 Sea $f(x)=\cos(a_1+x)+{1\over2}\cos(a_2+x)+{1\over4}\cos(a_3+x)+\ldots+{1\over2^{n-1}}\cos(a_n+x)$ , donde los $a_i$ son constantes reales y $x$ es una variable real. Si $f(x_1)=f(x_2)=0$ , demuestre que $x_1-x_2$ es un múltiplo de $\pi$ .