5 ¿Existen infinitas ternas de enteros positivos $(a, b, c)$ tales que se cumplan las dos condiciones siguientes: 1. $\gcd(a, b, c) = 1$ ; 2. $a+b+c, a^2+b^2+c^2$ y $abc$ son todos cuadrados perfectos? (Propuesto por Ivan Chan Guan Yu)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Sea $E$ el pie de la altura desde $C$ hasta $AB$ , y $F$ el pie de la altura desde $B$ hasta $AC$ . Sea $G \neq H$ la intersección de las circunferencias $(AEF)$ y $(BHC)$ . Demuestre que $AG$ biseca a $BC$ . Propuesto por Kang Taeyoung, Corea del Sur khan.academy

Encuentre todos los enteros $n$ tales que $\displaystyle{\frac{5^n-1}{3}}$ es un primo o un cuadrado perfecto de un entero. Propuesto por Prajit Adhikari, Nepal khan.academy

3 Para un conjunto de cuatro puntos $K \subset \overline{\mathbb{C}}$ , sea $n_K$ el número de FLT que aplican $K$ en sí mismo. Halle el valor máximo de $n_K$ .

1 Refleja cada una de las figuras \(A,B\) sobre algunas rectas \(l_A,l_B\) respectivamente y rota la figura \(C\) de modo que se obtenga un cuadrado de \(4 \times 4\). Identifica las rectas \(l_A,l_B\) y el centro de la rotación, y también dibuja las versiones transformadas de \(A,B\) y \(C\) bajo estas operaciones. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/2/6/f640ddedc5df84cbbdef9f057b7e28f59160bd.jpg Propuesto por Mahdi Etesamifard - Irán

2 $ABCD$ es un cuadrado con lado de longitud 20. Un rayo de luz se emite desde $A$ e interseca los lados $BC,CD,DA$ respectivamente y llega al punto medio del lado $AB$. ¿Cuál es la longitud del camino que ha recorrido el rayo? https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/0/4/60606243913a7c34f83490bfc5b6b2ba70d8ba.jpg Propuesto por Mahdi Etesamifard - Irán

3 Dentro de un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $BC>AD$, se elige un punto $T$. $S$ está sobre el segmento $AT$ tal que $DT = BC$, $\angle TSD = 90^\circ$. Demuestra que si $\angle DTA + \angle TAB + \angle ABC = 180^\circ$, entonces $AB + ST \geqslant CD + AS$. Propuesto por Alexander Tereshin - Rusia Shayan-TayefehIR

4 Un $n$ -ágono inscrito ( $n > 3$ ) se divide en $n-2$ triángulos mediante diagonales que solo se intersecan en los vértices. ¿Cuál es el número máximo posible de triángulos congruentes que se pueden obtener? (Un $n$ -ágono inscrito es un $n$ -ágono donde todos sus vértices están sobre una circunferencia) Propuesto por Boris Frenkin - Rusia Shayan-TayefehIR

5 puntos \(Y,Z\) yacen en el arco menor \(BC\) de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo \(\bigtriangleup ABC\) ( \(Y\) yace en el arco menor \(BZ\) ). Sea \(X\) un punto tal que los triángulos \(\bigtriangleup ABC,\bigtriangleup XYZ\) son semejantes (en este orden exacto) con \(A,X\) del mismo lado de \(YZ\). Las rectas \(XY,XZ\) intersecan los lados \(AB,AC\) en los puntos \(E,F\) respectivamente. Sea \(K\) la intersección de las rectas \(BY,CZ\). Demuestra que una de las intersecciones de las circunferencias circunscritas de los triángulos \(\bigtriangleup AEF,\bigtriangleup KBC\) yace sobre la recta \(KX\). Propuesto por Amirparsa Hosseini Nayeri - Irán Shayan-TayefehIR

1 En la figura siguiente, los puntos $A,B$ son los centros de los círculos $\omega_1, \omega_2$. Partiendo de la línea $BC$ se obtienen respectivamente los puntos $E,F,G,H,I$. Encuentra el ángulo $\angle IBE$. Shayan-TayefehIR