23 Tres caras de un tetraedro son triángulos rectángulos, mientras que la cuarta no es un triángulo obtuso. (a) Demuestra que una condición necesaria y suficiente para que la cuarta cara sea un triángulo rectángulo es que en algún vértice haya exactamente dos ángulos rectos. (b) Demuestra que si todas las caras son triángulos rectángulos, entonces el volumen del tetraedro es igual a un sexto del producto de las tres aristas más pequeñas que no pertenecen a la misma cara. Amir

24 Hay $n\geq 2$ personas en una reunión. Demuestra que existen dos personas en la reunión que tienen el mismo número de amigos entre los asistentes. (Se supone que si $A$ es amigo de $B,$ entonces $B$ es amigo de $A;$ además, nadie es su propio amigo.)

26 Demuestra la desigualdad a.) $ \left( a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\right) ^{2}\leq k\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2}\right) , $ donde $k\geq 1$ es un número natural y $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{k}$ son números reales arbitrarios. b.) Usando la desigualdad (1), muestra que si los números reales $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ satisfacen la desigualdad \[ a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq \sqrt{\left( n-1\right) \left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}\right) }, \] entonces todos estos números $a_{1},$ $a_{2},$ $\ldots,$ $a_{n}$ son no negativos.

27 Dado un punto \(P\) que se encuentra sobre una recta \(g\), y dado un círculo \(K\). Construye un círculo que pase por el punto \(P\) y que toque al círculo \(K\) y a la recta \(g\).

28 En el plano, considera un círculo con centro $S$ y radio $1.$ Sea $ABC$ un triángulo arbitrario que tiene este círculo como su incírculo, y supón que $SA\leq SB\leq SC.$ Encuentra el lugar geométrico de a.) todos los vértices $A$ de tales triángulos; b.) todos los vértices $B$ de tales triángulos; c.) todos los vértices $C$ de tales triángulos.

29 Un número natural dado $N$ se descompone en una suma de algunos enteros consecutivos. a.) Encuentra todas las descomposiciones de este tipo para $N=500.$ b.) ¿Cuántas descomposiciones de este tipo tiene el número $N=2^{\alpha }3^{\beta }5^{\gamma }$ (donde $\alpha ,$ $\beta $ y $\gamma $ son números naturales)? ¿Cuáles de estas descomposiciones contienen solo sumandos naturales? c.) Determina el número de tales descomposiciones (= descomposiciones en una suma de enteros consecutivos; estos enteros no son necesariamente naturales) para un $N$ natural arbitrario. Nota de Darij: El $0$ no se considera un número natural.

30 Sea $n$ un entero positivo, demuestra que: (a) $\log_{10}(n + 1) > \frac{3}{10n} +\log_{10}n ;$ (b) $ \log n! > \frac{3n}{10}\left( \frac 12+\frac 13 +\cdots +\frac 1n -1\right).$ Amir

31 Resuelve la ecuación $|x^2 -1|+ |x^2 - 4| = mx$ en función del parámetro $m$. ¿Qué pares $(x,m)$ de enteros satisfacen esta ecuación? Amir

32 Los lados $a,$ $b,$ $c$ de un triángulo $ABC$ forman una progresión aritmética (tal que $b-a=c-b$). Los lados $a_{1},$ $b_{1},$ $c_{1}$ de un triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ también forman una progresión aritmética (con $b_{1}-a_{1}=c_{1}-b_{1}$). [Aquí, $a=BC,$ $b=CA,$ $c=AB,$ $a_{1}=B_{1}C_{1},$ $b_{1}=C_{1}A_{1},$ $c_{1}=A_{1}B_{1}.$] Además, sabemos que $\measuredangle CAB=\measuredangle C_{1}A_{1}B_{1}.$ Demuestra que los triángulos $ABC$ y $A_{1}B_{1}C_{1}$ son semejantes.

33 Dadas dos circunferencias tangentes internamente; en la mayor inscribimos un triángulo equilátero. Desde cada uno de los vértices de este triángulo, trazamos una tangente a la circunferencia menor. Demuestra que la longitud de una de estas tangentes es igual a la suma de las longitudes de las otras dos tangentes.