6 Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función tal que \[f(x+y)f(x-y)\geqslant f(x)^2-f(y)^2\] para todo $x,y\in\mathbb{R}$ . Suponga que la desigualdad es estricta para algunos $x_0,y_0\in\mathbb{R}$ . Demuestre que o bien $f(x)\geqslant 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ , o bien $f(x)\leqslant 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ .

4 Determine la longitud máxima $L$ de una sucesión $a_1,\dots,a_L$ de enteros positivos que satisface ambas propiedades siguientes: cada término de la sucesión es menor o igual que $2^{2023}$ , y no existe una subsucesión consecutiva $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (donde $1\le i\le j\le L$ ) con una elección de signos $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ para la cual \[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]

. ¿Es posible colocar números naturales en los vértices de un cubo de modo que para cada par de vértices unidos por una arista, uno de los dos números divida al otro, mientras que para todos los demás pares esta propiedad no se cumpla? P7. Halle el número de soluciones en números naturales de la ecuación \[\left[\frac{x}{10}\right]=\left[\frac{x}{11}\right]+1.\] P8. Demuestre que cualquier función que satisface $f(x+2)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$ es periódica, y halle su período. P9. Un rey se coloca en la esquina inferior izquierda de un tablero de ajedrez $7\times7$ . Puede moverse una casilla ya sea a la derecha, hacia arriba, o en diagonal hacia arriba a la derecha. ¿De cuántas maneras puede el rey llegar a la esquina superior derecha del tablero si su camino no puede contener celdas situadas por encima de la diagonal principal del tablero? P10. Las diagonales de un paralelogramo $ABCD$ se cortan en el punto $O$ . Demuestre que el punto $O$ y los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $A$ a las rectas $BC$ , $BD$ y $CD$ se encuentran sobre una misma circunferencia.

1 Si $a$ y $b$ son enteros positivos, decimos que $a$ casi divide a $b$ si $a$ divide al menos a uno de $b - 1$ y $b + 1$ . Llamamos a un entero positivo $n$ casi primo si se cumple lo siguiente: para cualesquiera enteros positivos $a, b$ tales que $n$ casi divide a $ab$ , se tiene que $n$ casi divide al menos a uno de $a$ y $b$ . Determine todos los números casi primos. Enlace original https://mathematical.olympiad.ch/fileadmin/user_upload/Archiv/Intranet/Olympiads/Mathematics/deploy/exams/2024/FinalRound/Exam/englishFinalRound2024.pdf !!

6 Sean $a$ , $b$ y $n$ enteros positivos que satisfacen que $bn$ divide a $an-a+1$ . Sea $\alpha=a/b$ . Demuestre que, cuando los números $\lfloor\alpha\rfloor,\lfloor2\alpha\rfloor,\dots,\lfloor(n-1)\alpha\rfloor$ se dividen por $n$ , los residuos son $1,2,\dots,n-1$ , en algún orden.

. Demuestre que si $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=0$ , entonces $(a+b+c)^{3}=27abc$ . P2. Algunos números divisibles por $7$ dan resto $1$ al dividirlos por $2, 3, 4, 5,$ y $6$ . Halle el menor de tales números. P3. En un trapecio se puede inscribir una circunferencia. Demuestre que las circunferencias construidas sobre sus lados no paralelos como diámetros son tangentes entre sí. P4. En cierto país, el sistema de aerolíneas está organizado de modo que cada ciudad está conectada por vuelos directos con a lo sumo otras tres ciudades, y desde cualquier ciudad se puede llegar a cualquier otra con a lo sumo un transbordo. ¿Cuál es el número máximo posible de ciudades en este país?

8 Halle todos los números primos $p$ y $q$ tales que $$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$$ es un número primo. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

Sea $s(n)$ el divisor primo más pequeño y $d(n)$ el número de divisores positivos de un entero positivo $n>1$ . ¿Es posible elegir $2023$ enteros positivos $a_{1},a_{2},...,a_{2023}$ con $a_{1}<a_{2}-1<...<a_{2023}-2022$ tales que para todo $k=1,...,2022$ se tenga $d(a_{k+1}-a_{k}-1)>2023^{k}$ y $s(a_{k+1}-a_{k}) > 2023^{k}$ ? Autor: Nikola Velov

5 Dados dos puntos $p_1=(x_1, y_1)$ y $p_2=(x_2, y_2)$ del plano, denote por $\mathcal{R}(p_1,p_2)$ el rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas y con $p_1$ y $p_2$ como vértices opuestos, es decir, \[\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\min\{x_1, x_2\}\leq x\leq \max\{x_1, x_2\},\min\{y_1, y_2\}\leq y\leq \max\{y_1, y_2\}\}.\] Halle el mayor valor de $k$ para el cual es verdadera la siguiente afirmación: para todo conjunto $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}^2$ con $|\mathcal{S}|=2024$ , existen dos puntos $p_1, p_2\in\mathcal{S}$ tales que $|\mathcal{S}\cap\mathcal{R}(p_1, p_2)|\geq k$ .

4 Sean $a,b,c,d$ números reales que satisfacen \[abcd=1\quad \text{and}\quad a+\frac1a+b+\frac1b+c+\frac1c+d+\frac1d=0.\] Demuestre que al menos uno de los números $ab$ , $ac$ , $ad$ es igual a $-1$ .