3 Halle todos los $x,y,z$ reales tales que \[\left\{\begin{array}{c}x+y+zx=\frac12\\ \\ y+z+xy=\frac12\\ \\ z+x+yz=\frac12\end{array}\right.\] Omid

4 Sea $p(x)$ un polinomio real tal que para cada $x\geq 0$ , $p(x)\geq 0$ . Demuestre que existen polinomios reales $A(x),B(x)$ tales que $p(x)=A(x)^{2}+xB(x)^{2}$ . Omid

5 Halle el mayor número real $ k$ tal que para todo triángulo rectángulo con lados $ a$ , $ b$ , $ c$ se tiene \[ a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq k\left(a+b+c\right)^{3}.\] Omid

4 Sea $f: \mathbb R^{n}\longrightarrow\mathbb R^{n}$ una aplicación biyectiva tal que la imagen de todo espacio afín de dimensión $n-1$ es un espacio afín de dimensión $n-1$ . 1) Demuestre que la imagen de toda recta es una recta. 2) Demuestre que $f$ es una aplicación afín. (Es decir, $f=goh$ donde $g$ es una traslación y $h$ es una aplicación lineal.) Omid

1 Demuestre que en el triángulo $ABC$ , el centro radical de sus excírculos se encuentra sobre la recta $GI$ , donde $G$ es el baricentro del triángulo $ABC$ e $I$ es el incentro. Omid

2 Sea $ABC$ un triángulo y sean $R,Q,P$ los puntos medios de $AB,AC,BC$ . La recta $AP$ interseca a $RQ$ en $E$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $F$ . $T,S$ están sobre $RP,PQ$ tales que $ES\perp PQ,ET\perp RP$ . $F'$ está sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ tal que $FF'$ es un diámetro. El punto de intersección de $AF'$ y $BC$ es $E'$ . $S',T'$ están sobre $AB,AC$ tales que $E'S'\perp AB,E'T'\perp AC$ . Demuestre que $TS$ y $T'S'$ son perpendiculares. Omid

3 En el triángulo $ABC$ , si $L,M,N$ son los puntos medios de $AB,AC,BC$ y $H$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ , entonces demuestre que \[LH^{2}+MH^{2}+NH^{2}\leq\frac14(AB^{2}+AC^{2}+BC^{2})\] Omid

4 Se dan la circunferencia $\Omega(O,R)$ y su cuerda $AB$ . Suponga que $C$ es el punto medio del arco $AB$ . Sea $X$ un punto arbitrario de la circunferencia. La perpendicular desde $B$ a $CX$ interseca a la circunferencia nuevamente en $D$ . La perpendicular desde $C$ a $DX$ interseca a la circunferencia nuevamente en $E$ . Trazamos tres rectas $\ell_{1},\ell_{2},\ell_{3}$ desde $A,B,E$ paralelas a $OX,OD,OC$ . Demuestre que estas rectas son concurrentes y halle el lugar geométrico del punto de concurrencia. Omid

5 Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ del triángulo $ABC$ , sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y sea $T$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$ . Demuestre que \[\cos B+\cos C=1\Longleftrightarrow MI=MT\] Omid

1 Sea $A$ una familia de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,n\}$ tal que ningún miembro de $A$ está contenido en otro. El teorema de Sperner afirma que $|A|\leq{n\choose{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}$ . Halle todas las familias para las cuales se cumple la igualdad.