2 Determine todas las soluciones enteras (a,b,c) con $c\leq 94$ para las cuales: $(a+\sqrt c)^2+(b+\sqrt c)^2 = 60 + 20\sqrt c$

3 Dos tetraedros regulares $A$ y $B$ se construyen con los 8 vértices de un cubo unitario. (esta manera es única) ¿Cuál es el volumen de $A\cup B$ ?

4 Sea $(f_i)$ una sucesión de funciones definida por: $f_1(x)=x, f_n(x) = \sqrt{f_{n-1}(x)}-\dfrac14$ . ( $n\in \mathbb{N}, n\ge2$ ) (a) Demuestre que $f_n(x) \le f_{n-1}(x)$ para todo x donde ambas funciones están definidas. (b) Halle para cada $n$ los puntos de $x$ dentro del dominio para los cuales $f_n(x)=x$ .

1 Los 20 alumnos de una clase envían cada uno 10 tarjetas a 10 compañeros de clase (distintos). [nota: no puedes enviarte una tarjeta a ti mismo.] (a) Demuestre que al menos 2 alumnos se enviaron mutuamente una tarjeta. (b) Supongamos ahora que tuviéramos $n$ alumnos que envían $m$ tarjetas cada uno. ¿Para qué $(m,n)$ es cierto lo anterior? (Es decir, halle el $m(n)$ mínimo o el $n(m)$ máximo)

2 Un joyero cubre la diagonal de un cuadrado unitario con pequeños cuadrados dorados de la siguiente manera: - los lados de todos los cuadrados son paralelos a los lados del cuadrado unitario - para cada vecino, la longitud de su lado es la mitad o el doble de la de ese cuadrado (dos cuadrados son vecinos si comparten un vértice) - cada punto medio de un cuadrado está a una distancia del vértice del cuadrado unitario igual a $\dfrac12, \dfrac14, \dfrac18, ...$ de la diagonal. (por lo tanto, la longitud real: $\times \sqrt2$ ) - todos los puntos medios están sobre la diagonal (a) ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado del medio? (b) ¿Cuál es el área total dorada? https://1.bp.blogspot.com/-azJkAVACPvQ/XWuytNaj27I/AAAAAAAAKpo/C6C0NOzoQiYbFXfe41nNjNK8PEDvCxJ6wCK4BGAYYCw/s400/1993%2Bflanders%2Bp2.png

2 Al trazar todas las diagonales de un pentágono regular, se obtiene un pentágono más pequeño en el medio. ¿Cuál es la razón de las áreas de esos pentágonos?

4 Defina la sucesión $oa_n$ de la siguiente manera: $oa_0=1, oa_n= oa_{n-1} \cdot cos\left( \dfrac{\pi}{2^{n+1}} \right)$ . Halle $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} oa_n$ .

2 Sean $a$ y $b$ dos primos que tienen al menos dos dígitos, tales que $a > b$ . Demuestre que \[240|\left(a^4-b^4\right)\] y demuestre que 240 es el mayor entero positivo que tiene esta propiedad.

3 Formamos un código decimal de $21$ dígitos. El código puede comenzar con $0$ . Determine la probabilidad de que el fragmento $0123456789$ aparezca en el código.

4 Sea $f:\mathbb{R}^+_0 \rightarrow \mathbb{R}^+_0$ una función estrictamente decreciente. (a) Sea $a_n$ una sucesión de reales estrictamente positivos tal que $\forall k \in \mathbb{N}_0:k\cdot f(a_k)\geq (k+1)\cdot f(a_{k+1})$ Demuestre que $a_n$ es creciente, que $\displaystyle\lim_{k\rightarrow +\infty} f(a_k)$ = 0 y que $\displaystyle\lim_{k\rightarrow +\infty} a_k =+\infty$ (b) Demuestre que existe tal sucesión ( $a_n$ ) en $\mathbb{R}^+_0$ si se sabe que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=0$ .