3 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $$7^n \mid 3^m+5^m-1$$

4 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente condición: para cualesquiera números reales $x$ y $y$ , el número $f(x + f(y))$ es igual a $x + f(y)$ o a $f(f(x)) + y$

1 Sea ${a_n}$ la sucesión de números racionales definida por $a_0 = 2021,$ y $a_{n+1}=a_{n}+\frac{2}{a_{n}},$ para todo $n \geq 0.$ ¿Puede algún $a_{n}, n \geq 1,$ ser un cuadrado de un número racional?

3 Demuestre que la ecuación $ y^{37} = x^3 +11\pmod p$ es resoluble para todo primo $ p$ , donde $ p\le 100$ .

3 Cuatro familias distintas cenan juntas en un restaurante. Cada familia se compone de un padre, una madre y tres hijos. Hay cinco mesas, que son roja, azul, amarilla, verde y marrón, respectivamente. Cada mesa puede albergar a cuatro personas, y cada persona debe sentarse en alguna mesa. ¿De cuántas maneras se pueden asignar las 20 personas a las mesas de modo que cada hijo se siente en la misma mesa que al menos uno de sus padres? (No distinguimos entre los cuatro asientos de una misma mesa.)

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O.$ Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $E.$ $F$ y $G$ son puntos de los segmentos $AB$ y $CD$ , respectivamente. Suponga que $AF=15,$ $FB=13,$ $BE=30,$ $ED=13,$ $DG=7.5,$ y $GC=6.5.$ Sea $P$ un punto tal que $PF\perp AB$ y $PG\perp CD.$ Halle $\frac{PE}{PO}.$

5 Sea $f(n)=\left|\binom{n}{0}+\binom{n}{3}+\dots +\binom{n}{3[\frac{n}{3}]}-\frac{2^n}{3}\right|,$ donde $[x]$ es el mayor entero que no excede a $x.$ Halle $$f(1)+f(2)+\dots+f(2021).$$

6 Hay un conjunto de $n$ $01$ - sucesiones de longitud $200.$ Cada par de $01$ - sucesiones difiere en al menos $101$ posiciones. (Por ejemplo, las dos $01$ - sucesiones de longitud $6,$ $111100$ y $010001$ difieren en cuatro posiciones: las posiciones $1$ s t, $3$ r d, $4$ t h y $6$ t h, contando desde la izquierda.) ¿Es posible que $n \geq 101?

1 Sea $ABC$ un triángulo. Sea $M$ el punto medio de $BC,$ y sea $G$ el baricentro de $\triangle ABC.$ Sea $D$ un punto del segmento $GM.$ Una recta que pasa por $D$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ , respectivamente (con $E, F \neq A$ ) . Demuestre que $$[BEGF]+[CFGD]\geq \frac{4}{9} [ABC].$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? (Aquí $[WXYZ]$ es el área del polígono $WXYZ,$ etc.)

2 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Defínase una sucesión ${a_n}$ mediante $a_0 = 0$ y $a_{n} = P(a_{n-1})$ para todo $n \geq 1.$ Demuestre que si existe un entero positivo $m$ para el cual $a_m = 0,$ entonces $a_1 = 0$ o $a_2 = 0.$