A1 Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(x^2 + y^2) = g(xy)$$ se cumple para todos $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ .

A2 Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(x^2 + y) \ge (\frac{1}{x} + 1)f(y)$$ se cumple para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ y todo $y \in \mathbb{R}$ .

A3 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \) tales que \( f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y \) para todos los reales positivos \( x,y \). Propuesto por Athanasios Kontogeorgis, Grecia.

A4 Sean $f, g$ funciones de los enteros positivos a los enteros. Vlad el impala está saltando por la cuadrícula de enteros. Su posición inicial es $x_0 = (0, 0)$, y para cada $n \ge 1$, su salto es $x_n - x_{n - 1} = (\pm f(n), \pm g(n))$ o $(\pm g(n), \pm f(n))$, con ocho posibilidades en total. ¿Es siempre posible que Vlad pueda elegir sus saltos para regresar a su posición inicial $(0, 0)$ infinitas veces cuando (a) $f, g$ son polinomios con coeficientes enteros? (b) $f, g$ son cualquier par de funciones de los enteros positivos a los enteros?

A5 Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ tales que $$f(xf(x + y)) = yf(x) + 1$$ se cumple para todos $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ . Propuesto por Nikola Velov, Macedonia del Norte

A6 Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(xy) = f(x)f(y) + f(f(x + y))$$ se cumple para todos $x, y \in \mathbb{R}$ .

C1 Sea $\mathcal{A}_n$ el conjunto de las $n$-tuplas $x = (x_1, ..., x_n)$ con $x_i \in \{0, 1, 2\}$. Una terna $x, y, z$ de elementos distintos de $\mathcal{A}_n$ se llama buena si existe algún $i$ tal que $\{x_i, y_i, z_i\} = \{0, 1, 2\}$. Un subconjunto $A$ de $\mathcal{A}_n$ se llama bueno si cada tres elementos distintos de $A$ forman una terna buena. Demuestra que todo subconjunto bueno de $\mathcal{A}_n$ tiene a lo más $2(\frac{3}{2})^n$ elementos.

C2 Sean $K$ y $N > K$ enteros positivos fijos. Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ enteros distintos. Supón que siempre que $m_1, m_2, \ldots, m_n$ sean enteros, no todos iguales a $0$, tales que $\mid{m_i}\mid \le K$ para cada $i$, entonces la suma $$\sum_{i = 1}^{n} m_i a_i$$ no es divisible por $N$. ¿Cuál es el mayor valor posible de $n$? Propuesto por Ilija Jovcevski, Macedonia del Norte

C3 En un país exótico, el Banco Nacional emite monedas que pueden tomar cualquier valor en el intervalo $[0, 1]$ . Encuentra la constante más pequeña $c > 0$ tal que se cumpla lo siguiente, sin importar la situación en ese país: Cualquier ciudadano del país exótico que tenga un número finito de monedas, con un valor total de no más de $1000$ , puede repartir esas monedas en $100$ cajas, de modo que el valor total dentro de cada caja sea a lo sumo $c$ .

C4 Se da una secuencia de $2n + 1$ enteros no negativos $a_1, a_2, ..., a_{2n + 1}$. También hay una secuencia de $2n + 1$ celdas consecutivas enumeradas de $1$ a $2n + 1$ de izquierda a derecha, tal que inicialmente el número $a_i$ está escrito en la $i$-ésima celda, para $i = 1, 2, ..., 2n + 1$. Partiendo de esta posición inicial, repetimos la siguiente secuencia de pasos, mientras sea posible: Paso 1: Suma los números escritos en todas las celdas, denota la suma como $s$. Paso 2: Si $s$ es igual a $0$ o si es mayor que el número actual de celdas, el proceso termina. De lo contrario, elimina la $s$-ésima celda, y desplaza todas las celdas que están a su derecha una posición hacia la izquierda. Luego ve al Paso 1. Ejemplo: $(1, 0, 1, \underline{2}, 0) \rightarrow (1, \underline{0}, 1, 0) \rightarrow (1, \underline{1}, 0) \rightarrow (\underline{1}, 0) \rightarrow (0)$. Una secuencia $a_1, a_2, ..., a_{2n+1}$ de enteros no negativos se llama balanceada, si al final de este proceso queda exactamente una celda, y es la celda que inicialmente estaba enumerada por $(n + 1)$, es decir, la celda que inicialmente estaba en el medio. Encuentra el número total de secuencias balanceadas como función de $n$. Propuesto por Viktor Simjanoski, Macedonia del Norte