4. Se sabe que toda diagonal de un cuadrilátero convexo es más larga que cada uno de sus lados. Demuestra que la longitud de cada diagonal es menor que $\sqrt{3}$ veces la longitud de uno de los lados. Propuesto por Morteza Saghafian - Irán

2 Supón que en el exterior de un cuadrilátero convexo \(ABCD\) se construyen triángulos equiláteros \(XAB, YBC, ZCD, WDA\) con centroides \(S_1, S_2, S_3, S_4\) respectivamente. Demuestra que \(S_1S_3 \perp S_2S_4\) si y solo si \(AC = BD\).

2 Se da un triángulo equilátero $ABC$. Los puntos $O_{1}, O_{2}$ están en los lados $AB,AC$ respectivamente. Se sabe que el círculo con centro en $O_{1}$ y que pasa por $B$ es tangente externamente al círculo con centro en $O_{2}$ y que pasa por $C$ en un punto $P$ dentro del triángulo. Encuentra el ángulo $\angle{BPC}$. Propuesto por Davood Vakili - Irán

Una colección $T$ de ternas no ordenadas de enteros entre $1$ y $n$ se llamará $n$-Coolkowski si, para toda elección de puntos $P, X_1, X_2, \dots, X_n$ en el plano tales que existe $1\leq i,j,k\leq n$ de modo que el triángulo $X_iX_jX_k$ contiene a $P$, también existe $\{i',j',k'\}\in T$ tal que el triángulo $X_{i'}X_{j'}X_{k'}$ contiene a $P$. Una colección $n$-Coolkowski de ternas se llamará minimal si no contiene ninguna colección $n$-Coolkowski propia. a) ¿Existe un $c>\frac{1}{2}$ tal que, para todo $n$ suficientemente grande, exista una colección $n$-Coolkowski minimal $T$ con $|T|\geq cn^2$? b) ¿Existe un $c<\frac{1}{2}$ tal que, para todo $n$ suficientemente grande, exista una colección $n$-Coolkowski minimal $T$ con $|T|\leq cn^2$? Un triángulo contiene su perímetro.

4 Sean $P,Q,R,S$ los puntos medios de los lados $BC,CD,DA,AB$ de un cuadrilátero convexo, respectivamente. Demuestra que \[4(AP^2+BQ^2+CR^2+DS^2)\le 5(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2)\]

2 Cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia $\omega$. Puntos distintos $X,Y$ están en los rayos $DB,CA$ tales que $DA=DX, CB=CY$. Las rectas $AX,BY$ intersecan el lado $CD$ en los puntos $P,Q$ respectivamente. Demuestra que el eje radical de las dos circunferencias circunscritas de los triángulos $APC,BQD$ y la mediatriz del lado $AB$ se intersecan en un punto sobre $\omega$. Propuesto por Amirparsa Hosseini - Irán

1 Se da un trapecio rectángulo $PYXQ$ $(PY \perp PQ \perp QX)$. Los puntos $A$ y $B$ están sobre la recta $PQ$ tales que $\angle{AYQ}=\angle{BXP}=90^\circ$. Si $S$ es el punto de intersección de las diagonales del trapecio, demuestra que $\bigtriangleup AYS \sim \bigtriangleup BXS$. Propuesto por Leonid Shatunov - Rusia

3 En $\triangle{ABC}$, $AB\neq AC$, $M$ es el punto medio de $BC$. $X$ es un punto arbitrario sobre el segmento $AM$. $A'$ está sobre la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ tal que $AA'\parallel BC$. $\odot(AA'X)$ interseca a $AB,AC$ en $F,E$. $A'X$ interseca a $BC$ en $P$. Demuestra que $P,M,E,F$ son concíclicos. Propuesto por Mahdi Mashayekhi-Irán.

5 En el triángulo \(ABC\) con \(\angle{CAB} = 15^\circ\) y \(\angle{CBA} = 30^\circ\), los puntos \(X\) e \(Y\) están dentro del ángulo \(\angle{BCA}\) tales que \(\angle{BCX}=\angle{ACY}=45^\circ\) y \(BC=CY\), \(AC=CX\). Sea la recta \(XY\) que corta a \(AB\) en el punto \(Z\). Demuestra que \(AZ=BC\). Propuesto por Mahdi Etesamifard - Irán

3. Dado el triángulo \(ABC\) y su circuncírculo \(\omega\). El punto \(T\) es el punto medio del arco \(BC\) de la circunferencia \(\omega\) (el arco que no incluye a \(A\)). La recta \(BT\) interseca a la bisectriz externa del ángulo \(BAC\) en el punto \(P\). \(H\) es el pie de la perpendicular trazada desde \(A\) sobre la recta tangente a \(\omega\) en \(T\), y \(M\) es el punto medio del segmento \(AP\). Demuestra que \(\angle{AHM}=\angle{ACP}\). Propuesto por Iman Maghsoudi - Irán