A4 Un punto $P$ se mueve dentro de un cuadrado unitario en línea recta con rapidez unitaria. Cuando llega a una esquina, escapa. Cuando llega a un borde, su línea de movimiento se refleja de modo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Sea $N(t)$ el número de direcciones iniciales desde un punto interior fijo $P_0$ para las cuales $P$ escapa en un tiempo menor o igual a $t$ unidades. Encuentra la menor constante $a$ para la cual existen constantes $b$ y $c$ tales que $$N(t) \leq at^2 +bt+c$$ para todo $t>0$ y para todo punto inicial $P_0$.

A5 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales y forma el polinomio $$Q(x) = ( x^2 +1) P(x)P'(x) + x(P(x)^2 + P'(x)^2 ).$$ Dado que la ecuación $P(x) = 0$ tiene $n$ raíces reales distintas mayores que $1$, demuestra o refuta que la ecuación $Q(x)=0$ tiene al menos $2n - 1$ raíces reales distintas.

A6 Supón que cada uno de los vértices de $ABC$ es un punto de la red en el plano $xy$, y que hay exactamente un punto de la red $P$ en el interior del triángulo. La recta $AP$ se prolonga hasta cortar a $BC$ en $E$. Determina el mayor valor posible para la razón de longitudes de los segmentos $$\frac{|AP|}{|PE|}.$$

B1 Encuentra $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^5 } \sum_{h=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} (5h^4 -18h^2 k^2 +5k^4).$$

B2 Determina el valor mínimo de $$(r-1)^2 + \left(\frac{s}{r}-1 \right)^2 + \left(\frac{t}{s}-1 \right)^{2} + \left( \frac{4}{t} -1 \right)^2$$ para todos los números reales $1\leq r \leq s \leq t \leq 4.$

B3 Demuestra que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que para todo divisor primo $p$ de $n^2 + 3$, existe $0 \leq k \leq \sqrt{n}$ con $p \mid k^2+3$.

B4 Sea $V$ un conjunto de matrices de $5\times7$, con entradas reales y cerrado bajo suma y multiplicación por escalar. Demuestra o refuta la siguiente afirmación: Si $V$ contiene matrices de rangos $0, 1, 2, 4,$ y $5$, entonces también contiene una matriz de rango $3$.

Sea $B(n)$ el número de unos en la expresión en base dos del entero positivo $n.$ Determina si $$\exp \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ B(n)}{n(n+1)} \right)$$ es un número racional.

3 Sean $a, b, c$ números reales positivos, con $0 < a \leq b \leq c$. Demuestra que para cualesquiera números reales positivos $x, y, z$ se cumple la siguiente desigualdad: \[(ax+by+cz) \left( \frac xa + \frac yb+\frac zc \right) \leq (x+y+z)^2 \cdot \frac{(a+c)^2}{4ac}.\] Amir

B6 Sea $C$ un círculo unitario fijo en el plano cartesiano. Para cualquier polígono convexo $P$, cada uno de cuyos lados es tangente a $C$, sea $N(P, h, k)$ el número de puntos comunes a $P$ y al círculo unitario con centro en $(h, k)$. Sea $H(P)$ la región de todos los puntos $(x, y)$ para los cuales $N(P, x, y) \geq 1$, y sea $F(P)$ el área de $H(P)$. Encuentra el número más pequeño $u$ tal que $$ \frac{1}{F(P)} \int \int N(P,x,y)\;dx \;dy < u $$ para todos los polígonos $P$, donde la integral doble se toma sobre $H(P)$.