2 Halle todos los pares $(a,b)$ de enteros con $a>1$ y $b>1$ tales que $a$ divide a $b+1$ y $b$ divide a $a^3-1$ .

1 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(xy)=\max\{f(x+y),f(x) f(y)\} \] para todos los números reales $x$ y $y$ .

3 Una permutación de los enteros $(1,2,\ldots,n)$ se llama $d$ -ordenada si no contiene una subsucesión decreciente de longitud $d$ . Demuestre que para todo $d=2,3,\ldots,n$ , el número de permutaciones $d$ -ordenadas de $(1,2,\ldots,n)$ es a lo sumo $(d-1)^{2n}$ .

2 Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , $I$ nueve puntos en el espacio tales que $ABCDE$ , $ABFGH$ y $GFCDI$ son pentágonos regulares de lado $1$ . Determine las longitudes de los lados del triángulo $EHI$ .

1 Halle todos los pares $(a, b)$ de números reales con la siguiente propiedad: dados cualesquiera números reales $c$ y $d$ , si ambas ecuaciones $x^2+ax+1=c$ y $x^2+bx+1=d$ tienen raíces reales, entonces la ecuación $x^2+(a+b)x+1=cd$ tiene raíces reales.

7 Dados tres círculos concéntricos $\omega_1$ , $\omega_2$ , $\omega_3$ con radios $r_1,r_2,r_3$ tales que $r_1+r_3\geq {2r_2}$ . Construye una recta que interseque a $\omega_1$ , $\omega_2$ , $\omega_3$ en $A,B,C$ respectivamente tal que $AB=BC$ .

4 Una tabla de $ 4\times 4$ está dividida en $ 16$ casillas unitarias blancas. Dos casillas se llaman vecinas si comparten un lado común. Una jugada consiste en elegir una casilla y cambiar los colores de sus vecinas de blanco a negro o de negro a blanco. Después de exactamente $ n$ jugadas las $ 16$ casillas quedaron negras. Halle todos los valores posibles de $ n$ .

A5 Sean a $,b,c,d$ y $x,y,z,t$ números reales tales que $0\le a,b,c,d \le 1$ , $x,y,z,t \ge 1$ y $a+b+c+d +x+y+z+t=8$ . Demuestre que $a^2+b^2+c^2+d^2+x^2+y^2+z^2+t^2\le 28$

A6 Para $a,b,c$ números reales positivos tales que $ab+bc+ca=3$ , demuestre: $ \frac{a}{\sqrt{a^3+5}}+\frac{b}{\sqrt{b^3+5}}+\frac{c}{\sqrt{c^3+5}} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$ Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

A7 Sea $A$ un conjunto de enteros positivos que satisface lo siguiente : $a.)$ Si $n \in A$ , entonces $n \le 2018$ . $b.)$ Si $S \subset A$ tal que $|S|=3$ , entonces existen $m,n \in S$ tales que $|n-m| \ge \sqrt{n}+\sqrt{m}$ ¿Cuál es la cardinalidad máxima de $A$ ?