3 En el triángulo \(ABC\), sea \(\omega\) la excircunferencia opuesta a \(A\). Sean \(D, E\) y \(F\) los puntos donde \(\omega\) es tangente a \(BC, CA\) y \(AB\), respectivamente. La circunferencia \(AEF\) interseca a la recta \(BC\) en \(P\) y \(Q\). Sea \(M\) el punto medio de \(AD\). Demuestra que la circunferencia \(MPQ\) es tangente a \(\omega\).

1 Encuentra todos los pares de números naturales $ (a, b)$ tales que $ 7^a - 3^b$ divide a $ a^4 + b^2$ . Autor: Stephan Wagner, Austria Dida

2 Encuentra todos los enteros positivos \( n \) para los cuales los números del conjunto \( S = \{1,2, \ldots,n \} \) pueden colorearse de rojo y azul, de modo que se satisfaga la siguiente condición: El conjunto \( S \times S \times S \) contiene exactamente \( 2007 \) ternas ordenadas \( \left(x, y, z\right) \) tales que: (i) los números \( x \) , \( y \) , \( z \) son del mismo color, y (ii) el número \( x + y + z \) es divisible por \( n \) . Autor: Gerhard Wöginger, Países Bajos

3 Sea $ n$ un entero positivo, y sean $ x$ y $ y$ números reales positivos tales que $ x^n + y^n = 1.$ Demuestra que \[ \left(\sum^n_{k = 1} \frac {1 + x^{2k}}{1 + x^{4k}} \right) \cdot \left( \sum^n_{k = 1} \frac {1 + y^{2k}}{1 + y^{4k}} \right) < \frac {1}{(1 - x) \cdot (1 - y)}. \] Autor: Juhan Aru, Estonia

1 $a)$ Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos. Demuestra que para todo entero positivo $m$ se cumple: $$(a+b)^m+(b+c)^m+(c+a)^m \leq 2^m(a^m+b^m+c^m)$$ $b)$ ¿Se cumple la desigualdad $a)$ para $1)$ números reales arbitrarios $a$, $b$ y $c$ $2)$ cualquier entero $m$?

2 $a)$ Sean $m$ y $n$ enteros positivos. Si $m>1$, demuestra que $ n \mid \phi(m^n-1)$ donde $\phi$ es la función de Euler. $b)$ Demuestra que el número de elementos en la sucesión $1,2,...,n$ $(n \in \mathbb{N})$ cuyo máximo común divisor con $n$ es $d$, es $\phi\left(\frac{n}{d}\right)$.

3 Sea $M$ un punto dentro del cuadrilátero $ABCD$ tal que $ABMD$ es un paralelogramo. Si $\angle CBM = \angle CDM$, demuestra que $\angle ACD = \angle BCM$.

3 Sea $ n$ un entero positivo, y sean $ x$ y $ y$ números reales positivos tales que $ x^n + y^n = 1.$ Demuestra que \[ \left(\sum^n_{k = 1} \frac {1 + x^{2k}}{1 + x^{4k}} \right) \cdot \left( \sum^n_{k = 1} \frac {1 + y^{2k}}{1 + y^{4k}} \right) < \frac {1}{(1 - x) \cdot (1 - y)}. \] Autor: Juhan Aru, Estonia

Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Supón que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está exactamente en un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está exactamente en un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes (donde $m$ es un entero positivo) está exactamente en $m$ sociedades. Encuentra todos los valores posibles de $k$ . Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

6 Una tabla $2 \times 2024$ está llena de enteros positivos. Específicamente, la primera fila está llena con números del conjunto $\{1, \ldots, 2023\}$ . Resulta que para cualesquiera dos columnas, la diferencia de los números de la primera fila es divisible por la diferencia de los números de la segunda fila, mientras que todos los números de la segunda fila son distintos entre sí. ¿Es seguro que los números de la primera fila son iguales? Ivan Kukharchuk