6 Fede y Male juegan el siguiente juego sobre un segmento fijo $I$ de longitud $1$ . Cada ronda consta de dos etapas. Primero, uno de los jugadores elige un número $\ell$ con $0\leqslant \ell \leqslant 1$ . Luego, el otro jugador elige un segmento $J$ de longitud $\ell$ contenido en $I$ e invierte el color de todos los puntos de $J$ , cambiando los puntos negros a blancos y los blancos a negros. En la siguiente ronda, los jugadores intercambian roles, y esta alternancia continúa. Después de $1000$ rondas, se calcula la longitud total $L$ de las porciones blancas de $I$ . Si $L>\dfrac{1}{2}$ , gana Fede. Si $L\leqslant\dfrac{1}{2}$ , gana Male. Inicialmente, todo el segmento $I$ es blanco, y Male es quien elige el primer número en la primera ronda. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora? Describa dicha estrategia.

3 Dado un entero positivo $n \geq 4$ , considere todos los números reales positivos no enteros $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que su suma es $n$ . Halle las constantes óptimas $C_1(n)$ y $C_2(n)$ tales que la siguiente desigualdad se cumple siempre: $$C_1(n) \leq \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i \cdot \{x_i\}}{x_i + 1} \leq C_2(n),$$ donde $\{x_i\}$ denota la parte fraccionaria de $x_i$ . Propuesto por Yang Xia

4 Demuestre que la ecuación $3a^{4}+4b^{4}=19c^{4}$ no tiene soluciones racionales no triviales. Sugerencia: no intente demostrarlo usando aritmética modular, al menos no de la manera clásica...

3 Dados enteros positivos $m,n,r$ con $1<m<n$ , seleccione varias casillas de una cuadrícula de $m \times n$ de modo que el número de casillas seleccionadas en cada fila y columna no supere $r$ . Halle el mínimo valor de $a$ tal que siempre sea posible colorear las casillas seleccionadas usando $a$ colores, garantizando que ninguna fila o columna contenga tres casillas del mismo color. Propuesto por Lu Yiping

2 Sea $ABDC$ un cuadrilátero circunscrito a la circunferencia $\Gamma$ . Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos circunferencias que pasan por los puntos $B$ y $C$ , ambas tangentes interiormente a $\Gamma$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Demuestre que: las rectas $AF$ , $DE$ y $BC$ son concurrentes. Propuesto por Yiyan Lin

3 S3 suponga $x=ky$ $$\left(ky+y+\frac{1}{y} \right) \left(k+\frac{1}{k}+2\right) \geq\frac{25\sqrt{15}}{9}$$ Por AM-CM sabemos que cuando $y=\frac{1}{\sqrt{k+1}},ky+y+\frac{1}{y} $ es máximo. Solo necesitamos demostrar que $$\left(\frac{k}{\sqrt{k+1} }+\frac{1}{\sqrt{k+1} }+\sqrt{k+1} \right) \left(k+\frac{1}{k}+2\right) \geq\frac{25\sqrt{15}}{9}$$ Luego solo necesitamos tomar la derivada; con $k=\frac{2}{3}$ , se alcanza el mínimo cuando $x=\frac{2}{\sqrt{15}},y=\frac{3}{\sqrt{15}}$ , $LHS=RHS$ P4 $a_1,a_2,\dots,a_{2022}\ge 0,a_1+a_2+\dots +a_{2022}=1$ halle el máximo valor de $\sum_{i=1}^{2022}\text{min}\{a_i,a_{i+1}\}\cdot \text{min}\{a_{i+1},a_{i+2}\}$ $a_{2023}=a_1,a_{2024}=a_2$ David-Vieta

1 Sean $v_1,v_2,…,v_n$ $n$ vectores unitarios en $\mathbb{R}^m$ . Demuestre que existen $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \in \left \{ -1, 1 \right \} $ tales que: $\left | \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_i v_i \right | \ge \sqrt{n} $ Nota: Para todo $x=(x_1,x_2, \cdots, x_m) \in \mathbb{R}^m $ , defina $\left | x \right | =\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_m^2} $ Propuesto por Qu Zhenhua

1 P(x) es un polinomio, degP(x)=n. P(x) es bueno si P(P(x)) tiene n^2 raíces no positivas distintas. P(x) es grande si para todo entero positivo m, P(P(...)) (m veces P) tiene n^m raíces distintas. Halle todos los enteros positivos n tales que, para todo P(x) que satisfaga degP(x)=n, si P(x) es bueno, entonces P(x) debe ser grande.

1 Dado un triángulo $ ABC$ con circuncentro $O$ y ortocentro $H$ . La recta $OH$ corta a $AB, AC$ en $E,F$ , respectivamente. Defina $S$ como el circuncentro de $ AEF$ . La circunferencia circunscrita de $ AEF$ corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $J$ , $J \not= A$ . La recta $OH$ corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $JSO$ en $D$ , $D \not= O$ , y la circunferencia circunscrita de $JSO$ corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $K$ , $K \not= J$ . Defina $M$ como la intersección de $JK$ y $OH$ , y $DK$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $K,G$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $GHM$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ son tangentes entre sí. Propuesto por 郝敏言 , China

1 Sea $\triangle A{}BC$ un triángulo escaleno, y sean $O$ y $H$ su circuncentro y su ortocentro, respectivamente. La recta $OH$ (la recta de Euler) interseca $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ . Sea $\odot O$ la circunferencia circunscrita de $\triangle A{}BC$ , y sea $J$ su intersección con la circunferencia circunscrita $\odot S$ de $\triangle AEF$ (donde $J \neq A$ ) . La circunferencia circunscrita de $\triangle JSO$ interseca $\odot O$ en los puntos $J$ y $K$ , e interseca la recta $OH$ en los puntos $O$ y $D$ . La recta $DK$ interseca $\odot O$ en los puntos $G$ y $K$ . Sea $M$ la intersección de la recta $JK$ con $OH$ . Demuestre que: la circunferencia que pasa por los puntos $G, H,$ y $M$ es tangente a $\odot O$ . Propuesto por Minyan Hao