3 Demuestre que para todo número natural $ n$ existe un polinomio $ p(x)$ con coeficientes enteros tal que $ p(1),p(2),...,p(n)$ son potencias distintas de $ 2$ . Amir.S

1 Defina la sucesión $(x_n)$ mediante $x_0 = 0$ y, para todo $n \in \mathbb N,$ \[x_n=\begin{cases} x_{n-1} + (3^r - 1)/2,&\mbox{ if } n = 3^{r-1}(3k + 1);\\ x_{n-1} - (3^r + 1)/2, & \mbox{ if } n = 3^{r-1}(3k + 2).\end{cases}\] donde $k \in \mathbb N_0, r \in \mathbb N$ . Demuestre que todo entero aparece en esta sucesión exactamente una vez. Amir

2 Sea $ABCD$ un pentágono convexo tal que \[\angle DCB = \angle DEA = 90^\circ, \ \text{and} \ DC=DE.\] Sea $F$ un punto de $AB$ tal que $AF:BF=AE:BC$ . Demuestre que \[\angle FEC= \angle BDC, \ \text{and} \ \angle FCE= \angle ADE.\]

2009.3.2 El círculo inscrito de un triángulo acutángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $A_1$, $B_1$ y $C_1$. Sean $K_A$, $K_B$ y $K_C$ los círculos inscritos de los triángulos $AB_1C_1$, $A_1BC_1$ y $A_1B_1C$. Denota por $t_a$ la tangente común a los círculos $K_B$ y $K_C$, que interseca los lados $AB$ y $AC$, y no el lado $BC$. Denota por $t_b$ la tangente común a los círculos $K_A$ y $K_C$, que interseca el lado $AB$ y $BC$, pero no el lado $AC$. Denota por $t_c$ la tangente común a los círculos $K_A$ y $K_B$, que interseca el lado $AC$ y $BC$, pero no el lado $AB$. Demuestra que las rectas $t_a$, $t_b$ y $t_c$ se intersecan en un punto.

3 Sean $A,B$ dos matrices con entradas enteras positivas tales que la suma de las entradas de cada fila de $A$ es igual a la suma de las entradas de la misma fila de $B$ , y la suma de las entradas de cada columna de $A$ es igual a la suma de las entradas de la misma columna de $B$ . Demuestre que existe una sucesión de matrices $A_1,A_2,A_3,\cdots , A_n$ tal que todas las entradas de la matriz $A_i$ son enteros positivos y, en la sucesión \[A=A_0,A_1,A_2,A_3,\cdots , A_n=B,\] , para cada índice $i$ existen índices $k,j,m,n$ tales que \[\begin{array}{*{20}{c}} \\ {{A_{i + 1}} - {A_{i}} = } \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \quad \quad \ \ j& \ \ \ {k} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} m \\ n \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { + 1}&{ - 1} \\ { - 1}&{ + 1} \end{array}} \right)} \end{array} \ \text{or} \ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \quad \quad \ \ j& \ \ \ {k} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} m \\ n \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ + 1} \\ { + 1}&{ - 1} \end{array}} \right)} \end{array}.\] . Es decir, todos los índices de ${A_{i + 1}} - {A_{i}}$ son cero, excepto los índices $(m,j), (m,k), (n,j)$ y $(n,k)$ . Amir

1 Halle todas las funciones $f: \mathbb N \to \mathbb N$ tales que, para todos los enteros positivos $m,n$ , (i) $mf(f(m))=\left( f(m) \right)^2$ , (ii) si $\gcd(m,n)=d$ , entonces $f(mn) \cdot f(d)=d \cdot f(m) \cdot f(n)$ , (iii) $f(m)=m$ si y solo si $m=1$ . Amir

1 Los números reales $a,b,c$ con $bc\neq0$ satisfacen $\frac{1-c^2}{bc}\geq0.$ Demuestre que $10(a^2+b^2+c^2-bc^3)\geq2ab+5ac.$

1 Un juego de un solo jugador se juega sobre una tabla de $m \times n$ con $m \times n$ fichas. Una de las caras de cada ficha es negra y la otra cara es blanca. Al comienzo del juego hay una ficha en cada casilla de la tabla y todas las fichas tienen su cara blanca hacia arriba, excepto una casilla en una esquina de la tabla, cuya ficha tiene la cara negra hacia arriba. En cada movimiento, debemos retirar de la tabla una ficha que tenga su cara negra hacia arriba e invertir todas las fichas de las casillas adyacentes (es decir, las casillas que comparten un lado común con la casilla de la ficha retirada). Halle todos los pares $(m,n)$ para los cuales podemos retirar todas las fichas de la tabla. Amir

2 Sean $ M$ y $ N$ dos puntos interiores al triángulo $ ABC$ tales que \[ \angle MAB = \angle NAC\quad \mbox{and}\quad \angle MBA = \angle NBC. \] Demuestre que \[ \frac {AM \cdot AN}{AB \cdot AC} + \frac {BM \cdot BN}{BA \cdot BC} + \frac {CM \cdot CN}{CA \cdot CB} = 1. \]

3 Halle todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que, para todos $x, y,$ \[f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4f(x)y.\] Amir