1 Halle todos los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ y $p$ , donde $p$ es un número primo, tales que $73p^2 + 6 = 9a^2 + 17b^2 + 17c^2$ .

2 En una circunferencia $O$ hay seis puntos, $ A$ , $ B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ en orden antihorario tales que $BD \perp CF$ , y $CF$ , $BE$ , $AD$ son concurrentes. Sea el pie de la perpendicular trazada desde $B$ a $AC$ el punto $M$ , y el pie de la perpendicular trazada desde $D$ a $CE$ el punto $N$ . Demuestre que $AE \parallel MN$ .

3 Considere la sucesión $a_1, a_2, a_3, ...$ definida por $a_1 = 9$ y $a_{n + 1} = \frac{(n + 5)a_n + 22}{n + 3}$ para $n \ge 1$ . Halle todos los números naturales $n$ para los cuales $a_n$ es un cuadrado perfecto de un entero.

4 Sea $F$ el conjunto de todas las sucesiones $\{(a_1, a_2, . . . , a_{2020})\}$ con $a_i \in \{-1, 1\}$ para todo $i = 1,2,...,2020$ . Demuestre que existe un conjunto $S$ , tal que $S \subset F$ , $|S| = 2020$ y para cualquier $(a_1,a_2,...,a_{2020}) \in F$ existe $(b_1,b_2,...,b_{2020}) \in S$ , tal que $\sum_{i=1}^{2020} a_ib_i = 0$ .

1 Sea $(a_n)_{n\ge 1}$ una sucesión dada por $a_1 = 45$ y $$a_n = a^2_{n-1} + 15a_{n-1}$$ para $n > 1$ . Demuestre que la sucesión no contiene cuadrados perfectos.

3 Tenemos $n > 2$ enteros no nulos tales que cada uno de ellos es divisible por la suma de los otros $n - 1$ números. Demuestre que la suma de los $n$ números es exactamente $0$ .

4 Llamemos agradable a un conjunto de enteros positivos si el número de sus elementos es igual al promedio de sus números. Llamemos número asombroso a un entero positivo $n$ si el conjunto $\{1, 2 , . . . , n\}$ puede particionarse en subconjuntos agradables. a) Demuestre que todo cuadrado perfecto es asombroso. b) Demuestre que hay infinitos enteros positivos que no son asombrosos.

1 Halle el entero positivo mínimo $m$ , tal que existan enteros positivos $n>k>1$ que satisfagan $11...1=11...1.m$ , donde el primer número tiene $n$ dígitos $1$ , y el segundo tiene $k$ dígitos $1$ .

2 En un tablero 12 × 12 se colocan algunos caballos de tal manera que en cada cuadrado 2 × 2 haya al menos un caballo. Halle el número máximo de casillas que no son atacadas por los caballos. (Un caballo no ataca la casilla en la que se encuentra.)

3 ¿Cuántos números naturales $n$ satisfacen las siguientes condiciones: i) $219<=n<=2019$ , ii) existen enteros $x, y$ , tales que $1<=x<n<y$ , y $y$ es divisible por todos los números naturales desde $1$ hasta $n$ con excepción de los números $x$ y $x + 1$ , por los cuales $y$ no es divisible?