2012.3.3 Sean $BE$ y $CF$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$. Dos circunferencias que pasan por los puntos $A$ y $F$ son tangentes a la recta $BC$ en los puntos $P$ y $Q$, con $B$ entre $C$ y $Q$. Demuestra que las rectas $PE$ y $QF$ se cortan sobre la circunferencia inscrita en el triángulo $AEF$.

2 Sean $g$ y $h$ las funciones definidas en el conjunto (de dos elementos) $\{1, - 1\}$ como dominio por $$g(1) = 1, g(-1) = -1\,\,\, (1)$$ $$h(1) = -1, h(-1) = 1 \,\,\,(2). $$ Además, sean $f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6, f_7$ funciones, algunas de las cuales son iguales a $g$ y el resto son iguales a $h$ . Para estas funciones: $$f_1(1) = -1, f_6(1) = f_7(1) = 1 \,\,\, (3)$$ $$f_3(f_4(1)) = -1 \,\,\,(4)$$ $$f_1(f_2(f_3(f_4(f_5(f_6(f_7(1)))))))) = -1 \,\,\, (5)$$ Demuestre que en todos los casos en que se satisfacen estas condiciones, el número de aquellas $f_i$ que son iguales a $g$ es el mismo, e indique este número.

3 a) Enumere todas las formas en que una región triangular dada $D$ puede dividirse en tres regiones triangulares $D_1$ , $D_2$ , $D_3$ . b) Demuestre que si una región triangular $D$ puede dividirse en tres regiones triangulares semejantes $D_1$ , $D_2$ , $D_3$ , entonces dicha región triangular es isósceles o rectángula.

4 Definición: Sea $d(X, Y)$ la distancia entre dos puntos $X, Y$ de un conjunto de $m$ puntos . Un número real $d$ se denomina diámetro de $m$ si se satisfacen las siguientes condiciones: (1) Para dos puntos cualesquiera $X, Y$ de $m$ , $d(X,Y) \le d$ . (2) Existen puntos $P, Q$ en $m$ para los cuales $d(P,Q) = d$ . Demuestre: a) Si una región circular con diámetro $d$ se divide en dos partes mediante cualquier polígono que interseca el círculo en un punto $M$ y un punto $N$ , entonces una de estas subregiones (cada una incluyendo su frontera) también tiene diámetro $d$ . b) Si un cuerpo esférico con diámetro $d$ se divide en dos subcuerpos mediante una superficie de corte plana $\varepsilon_1$ y luego uno de estos subcuerpos se divide nuevamente en dos subcuerpos mediante una superficie de corte plana $\varepsilon_2$ , entonces en cada una de tales divisiones de un cuerpo esférico en tres subcuerpos, al menos uno de estos subcuerpos (cada uno incluyendo sus superficies frontera) también tiene el diámetro $d$ .

5 Sea $f_1, f_2, ...$ una sucesión de funciones definidas para todos los números reales $x$ mediante $$f_1(x) =\sqrt{x^2 + 48}$$ $$f_{k+1}(x) =\sqrt{x^2 + 6f_k(x)}$$ para $k = 1, 2, 3, ...$ Halle, para cada $n = 1, 2, 3, ...,$ todos los números reales $x$ que son soluciones de la ecuación $f_n(x) = 2x$ .

6A Sea $n$ un número positivo, y sea $(a_1, ..., a_n)$ una $n$ - tupla de números reales con $a_1 \le a_2 \le ... \le a_n$ . Investigue si, para estos $a_1, ..., a_n$ dados, existe un número real $x$ tal que el número $$z = |x - a_1| + |x -a_2| + ... + |x - a_n|$$ sea lo más pequeño posible. Si tal $x$ existe, determine todos los números reales $x$ con esta propiedad y establezca el valor mínimo correspondiente de $z$ .

4 Determine todos los pares $(f, g)$ de funciones definidas para todos los números reales $x$ distintos de $-1$ , $0$ y de 1, y que satisfacen las siguientes ecuaciones para todos estos $x$ : $$x \cdot f(x) - \frac{1}{x} \cdot g\left(\frac{1}{x} \right) =1$$ $$\frac{1}{x^2} \cdot f(x)=x^2 \cdot g(x)$$

6B a) Dado un número natural $n \ge 2$ . Sea $u$ la circunferencia circunscrita de un $2n$ - gono regular $A_0A_1...A_{2n-1}$ . Un conjunto de tres vértices $A_i$ , $A_j$ , $A_k$ de este $2n$ - gono se llama unilateral si existe sobre la circunferencia $u$ un arco semicircular $h$ que incluye sus dos extremos y que contiene a $A_i$ , $A_j$ y $A_k$ . Determine la probabilidad $w$ de que un conjunto elegido arbitrariamente $M = \{A_i, A_j, A_k\}$ de tres vértices sea unilateral. b) Determine el límite $\lim_{n \to \infty}w_n$ si existe. Nota: Si $m_n$ es el número de todos los conjuntos que pueden formarse a partir de tres vértices $A_i$ , $A_j$ , $A_k$ del $2n$ - gono, y $g_n$ es el número de todos los conjuntos unilaterales entre ellos, entonces la probabilidad buscada en (a) se define como $w_n = \frac{g_n}{m_n}$

2 Se han medido los ángulos interiores de un triángulo. La suma de los valores medidos $u, v, w$ obtenidos (como aproximaciones de las medidas reales de los ángulos interiores) es $180^o + \delta$ con $\delta \ne 0^o$ . Se van a utilizar tres valores de corrección $x, y, z$ para modificar los valores medidos de modo que la suma de los valores resultantes $u + x$ , $v + y$ , $w + z$ sea igual a $180^o$ . Debe demostrarse que para todos los posibles valores de corrección $x, y, z$ bajo estas condiciones, el valor $S = x^2 + y^2 + z^2$ es mínimo si y solo si $x = y = z = -\frac{\delta}{3}$ .

2012.4.2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero tangencial cuya circunferencia inscrita toca los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ sucesivamente en los puntos $P, Q, R$ y $S$. Las mediatrices de los lados $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $E$, y las mediatrices de los lados $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $F$. Sea $I_1$ la intersección de la bisectriz del ángulo $\angle QPS$ con la bisectriz del ángulo $\angle PSR$, y sea $I_2$ la intersección de la bisectriz del ángulo $\angle RAP$ con la bisectriz del ángulo $\angle STA$. Demuestra que las rectas $AC$, $EF$ e $I_1I_2$ se intersecan en un mismo punto.