4. Demuestra que existen sólo finitamente muchos enteros positivos \( n \) tales que \( \left(\frac{n}{1}+1\right)\left(\frac{n}{2}+2\right)\cdots\left(\frac{n}{n}+n\right) \) es un entero.

3. Sea \( n > 1 \) un entero y \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) reales positivos con suma 1. a) Demuestra que existe una constante \( c \geq 1/2 \) tal que \[ \sum \frac{a_k}{1+(a_0+a_1+\cdots+a_{k-1})^2} \geq c, \] donde \( a_0 = 0 \). b) Demuestra que el valor “mejor” de \( c \) es al menos \( \frac{\pi}{4} \).

2 Un banco tiene un conjunto S de códigos formados solo con 0 y 1, cada uno de longitud n. Dos códigos son 'amigos' si difieren en solo una posición. Sabemos que cada código tiene exactamente k 'amigos'. Demuestra que: 1) S tiene un número par de elementos 2) S contiene al menos $2^k$ códigos

3 En un triángulo $ABC$ con medianas $AD$ y $BE$, se cumple que $\angle CAD= \angle CBE=30^o$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

4 Recuerde que un plano divide a $\mathbb{R}^3$ en dos regiones, dos planos paralelos lo dividen en tres regiones, y dos planos que se intersecan dividen al espacio en cuatro regiones. Considere los seis planos en los que se encuentran las caras del cubo $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ , y los cuatro planos en los que se encuentran las caras del tetraedro $ACB_1D_1$ . ¿En cuántas regiones dividen al espacio estos diez planos?

3 Sean $n, k, l$ enteros positivos que satisfacen $n \ge 3$ , $l \le n - 2, l - k \le \frac{n-3}{2}$ . Suponga que $a_1, a_2, \dots, a_k$ son enteros elegidos de $\{1, 2, \dots, n\}$ tales que el conjunto de los restos de las sumas de los subconjuntos, sobre todos los subconjuntos de los $a_i$ , al dividirlos por $n$ , es exactamente $\{1, 2, \dots, l\}$ . Demuestre que \[ a_1 + a_2 + \dots + a_k = l. \]

2 Suponga que $\triangle ABC$ tiene a $D$ como punto medio de $BC$ y ortocentro $H$ . Sea $P$ un punto arbitrario de la circunferencia de los nueve puntos de $ABC$ . La recta que pasa por $P$ perpendicular a $AP$ interseca a $BC$ en $Q$ . La recta que pasa por $A$ perpendicular a $AQ$ interseca a $PQ$ en $X$ . Si $M$ es el punto medio de $AQ$ , demuestre que $HX \perp DM$ .

1 Demuestre que el polinomio en las variables $x,y,z$ \[ x^4(x-y)(x-z) + y^4(y-z)(y-x) + z^4(z-x)(z-y) \] no puede escribirse como una suma finita de cuadrados de polinomios reales en $x,y,z$ .

4 Sea $f(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros tal que $f(1) \neq 1$ . Para un entero positivo $n$ , defina $\text{divs}(n)$ como el conjunto de los divisores positivos de $n$ . Un entero positivo $m$ es $f$ - cool si existe un entero positivo $n$ para el cual $$f[\text{divs}(m)]=\text{divs}(n).$$ Demuestre que para cualquier $f$ de este tipo, hay finitamente muchos enteros $f$ - cool. (La notación $f[S]$ para un conjunto $S$ denota el conjunto $\{f(s):s \in S\}$ . )

4 Se elimina un cuadrado unitario de una esquina de una cuadrícula de $n\times n$ donde $n \geq 2$. Demuestra que el resto puede cubrirse con copias de las "formas en L" que consisten en $3$ o $5$ cuadrados unitarios, como se muestra en la figura de abajo. Cada cuadrado debe cubrirse una vez y las formas en L no deben salirse de los límites de la cuadrícula. [asy] import geometry; draw((-1.5,0)--(-3.5,0)--(-3.5,2)--(-2.5,2)--(-2.5,1)--(-1.5,1)--cycle); draw((-3.5,1)--(-2.5,1)--(-2.5,0)); draw((0.5,0)--(0.5,3)--(1.5,3)--(1.5,1)--(3.5,1)--(3.5,0)--cycle); draw((1.5,0)--(1.5,1)); draw((2.5,0)--(2.5,1)); draw((0.5,1)--(1.5,1)); draw((0.5,2)--(1.5,2)); [/asy] Olimpiada de Estonia, 2009