8.8 Sea $ABCDE$ un pentágono de papel con $AB = AE$, $\angle A = \angle B = \angle E = 90$, $BC = 3$, $CD = 5$, $DE = 2$. Construye una perpendicular desde $A$ hasta $CD$ usando solo una regla y trazando no más de seis líneas. Todas las líneas deben dibujarse dentro del pentágono. Propuesto por A. Blinkov

9.1 Las alturas $AA_1$ , $BB_1$ de un triángulo $ABC$ se cortan en el punto $H$ . Sean $A'$ , $B'$ los reflejos de $A$ , $B$ respecto a $BB_1$ , $AA_1$ respectivamente. Demuestra que los círculos de los nueve puntos de los triángulos $A'B'C$ y $A'B'H$ son tangentes. Propuesto por Ya. Scherbatov

9.2 En el plano, se marcan varios puntos y se colorean con cuatro colores de modo que cualquier circunferencia que pase por tres puntos marcados de colores distintos contenga (sobre ella) exactamente un punto marcado del color restante. ¿Es necesario que todos los puntos marcados sean concíclicos? Propuesto por F. Nilov

9.3 Se da un triángulo $ABC$. Una recta $m_1$ corta a $BC$ , $CA$ , $AB$ en los puntos $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ respectivamente, y una recta $m_2$ corta a $BC$ , $CA$ , $AB$ en los puntos $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ , de modo que $A_1$ y $A_2$ son simétricos respecto al punto medio de $BC$ , $B_1$ y $B_2$ son simétricos respecto al punto medio de $CA$ , $C_1$ y $C_2$ son simétricos respecto al punto medio de $AB$ . Demuestra que $m_1 \perp m_2$ si y solo si $m_1$ y $m_2$ son dos rectas de Simson del triángulo $ABC$ (para algunos dos puntos sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$) . Propuesto por L. Emelyanov

9.7 Se da un triángulo \(ABC\). Sea \(D\) un punto arbitrario sobre la mediatriz de \(BC\), que se encuentra fuera del triángulo. Las rectas \(BD\) y \(AC\) se cortan en \(C'\), y las rectas \(CD\) y \(AB\) se cortan en \(B'\). Un punto \(M_a\) es el punto medio de \(BC\), y \(M\) es el segundo punto común a las circunferencias \((BB'D)\) y \((CC'D)\). Demuestra que el circuncentro de \(DMM_a\) se encuentra sobre una recta fija. Propuesto por ALEPH/N.Shteinberg, A.Naumenja

9.8 Restaura un cuadrilátero bicentral $ABCD$ mediante el incentro $I$, el punto común $E$ de las tangentes a la circunferencia circunscrita en los puntos $A$ y $C$, y el punto común $F$ de las tangentes a la circunferencia circunscrita en los puntos $B$ y $D$. Propuesto por S. Arutyunyan.

10.1 Dos paralelogramos $KL_1M_1N_1$ y $KL_2M_2N_2$ están inscritos en un cuadrilátero convexo $ABCD$ de tal manera que $K$ es el punto medio de $AB$, y $L_1, M_1, N_1$ y $L_2, M_2, N_2$ se encuentran sobre los lados $BC, CD, DA$ respectivamente. ¿Puede el área de un paralelogramo ser menor que la mitad del área del cuadrilátero, y el área del segundo ser mayor que la mitad del área del cuadrilátero? Propuesto por I. Bogdanov

10.2 Sea \(I\) el incentro de un triángulo escaleno \(ABC\); y \(P, Q\) dos puntos isogonales tales que \(AP \parallel IQ \parallel BC\). Demuestra que \(AP=|AB-AC|\). Propuesto por E. Volokitin.

10.3 ¿Existen seis puntos $A_1 \dots A_6$ en posición general en el espacio, tales que los triángulos $A_1A_2A_3$ y $A_4A_5A_6$ estén enlazados, y dos triángulos correspondientes a cualquier otra partición de estos puntos en dos tripletas no estén enlazados? Dos triángulos en el espacio están enlazados si el contorno de un triángulo se encuentra con el interior del segundo en un único punto. Propuesto por E. Alkin y A. Skopenkov.

10.4 Sean $M$, $H$, $L$ el baricentro, el ortocentro y el punto de Lemoine, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Un punto $S$ es tal que los círculos $SLH$, $SML$ son tangentes a $MH$, y $L'$ es la reflexión de $L$ respecto a la circunferencia circunscrita del triángulo. Demuestra que $SL' \parallel MH$. Propuesto por S. Kuznetsov