Rosemonde está apilando esferas para hacer pirámides. Ella construye dos tipos de pirámides $S_n$ y $T_n$ . La pirámide $S_n$ tiene $n$ capas, donde la capa superior es una sola esfera y la capa $i^{th}$ es una rejilla cuadrada de $i\times$ i esferas para cada $2 \le i \le n$ . Del mismo modo, la pirámide $T_n$ tiene $n$ capas donde la capa superior es una sola esfera y la capa $i^{th}$ es $\frac{i(i+1)}{2}$ esferas dispuestas en un triángulo equilátero para cada $2 \le i \le n$ .

Una función $f$ se llama inyectiva si cuando $f(n) = f(m)$ , entonces $n = m$ . Suponga que $f$ es inyectiva y $\frac{1}{f(n)}+\frac{1}{f(m)}=\frac{4}{f(n) + f(m)}$ . Demuestre que $m = n$

Una ciudad rectangular tiene exactamente $m$ cuadras de largo y $n$ cuadras de ancho (ver diagrama). Una mujer vive en la esquina suroeste de la ciudad y trabaja en la esquina noreste. Ella camina al trabajo todos los días, pero, en cualquier viaje dado, se asegura de que su camino no incluya ninguna intersección dos veces. Demuestre que el número $f(m,n)$ de diferentes caminos que puede tomar para ir al trabajo satisface $f(m,n) \le 2^{mn}$ .

Sea $0 < u < 1$ y defina \[u_1 = 1 + u, \quad u_2 = \frac{1}{u_1} + u, \quad \dots, \quad u_{n + 1} = \frac{1}{u_n} + u, \quad n \ge 1.\] Demuestre que $u_n > 1$ para todos los valores de $n = 1$ , 2, 3, $\dots$ .

Se da un cono circular recto con radio de la base 1 cm y altura inclinada 3 cm. $P$ es un punto en la circunferencia de la base y se dibuja el camino más corto desde $P$ alrededor del cono y de regreso a $P$ (ver diagrama). ¿Cuál es la distancia mínima desde el vértice $V$ hasta este camino?

Sean \[p(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0\] y \[q(x) = b_m x^m + a_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + b_1 x + b_0\] dos polinomios con coeficientes enteros. Suponga que todos los coeficientes del producto $p(x) \cdot q(x)$ son pares pero no todos son divisibles por 4. Demuestre que uno de $p(x)$ y $q(x)$ tiene todos los coeficientes pares y el otro tiene al menos un coeficiente impar.

$N$ es un entero cuya representación en base $b$ es $777$ . Encuentre el entero $b$ más pequeño para el cual $N$ es la cuarta potencia de un entero.

Sea $O$ el centro de un círculo y $A$ un punto interior fijo del círculo diferente de $O$ . Determine todos los puntos $P$ en la circunferencia del círculo tales que el ángulo $OPA$ es máximo.

Si $f(x) = x^2 + x$ , demuestre que la ecuación $4f(a) = f(b)$ no tiene soluciones en enteros positivos $a$ y $b$ .

Una función $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos se llama canadiense si satisface $$\gcd\left(f(f(x)), f(x+y)\right)=\gcd(x, y)$$ para todos los pares de enteros positivos $x$ e $y$. Encuentre todos los enteros positivos $m$ tales que $f(m)=m$ para todas las funciones canadienses $f$.