Sea $n\geq 2$ algún entero positivo fijo y suponga que $a_1, a_2,\dots,a_n$ son números reales positivos que satisfacen $a_1+a_2+\cdots+a_n=2^n-1$. Encuentre el valor mínimo posible de $$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{1+a_1}+\frac{a_3}{1+a_1+a_2}+\cdots+\frac{a_n}{1+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}$$

Sea $ABCD$ un trapezoide con $AB$ paralelo a $CD$, $|AB|>|CD|$, y lados iguales $|AD|=|BC|$. Sea $I$ el centro del círculo tangente a las líneas $AB$, $AC$ y $BD$, donde $A$ e $I$ están en lados opuestos de $BD$. Sea $J$ el centro del círculo tangente a las líneas $CD$, $AC$ y $BD$, donde $D$ y $J$ están en lados opuestos de $AC$. Demuestre que $|IC|=|JB|$.

¿De cuántas maneras se pueden permutar los primeros $n$ enteros positivos de tal manera que en la permutación, para cada valor de $k \le n$, los primeros $k$ elementos de la permutación tengan un resto distinto mod $k$?

Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos concéntricos con $C_1$ dentro de $C_2$. Sean $P_1$ y $P_2$ dos puntos en $C_1$ que no son diametralmente opuestos. Extienda el segmento $P_1P_2$ pasando $P_2$ hasta que se encuentre con el círculo $C_2$ en $Q_2$. La tangente a $C_2$ en $Q_2$ y la tangente a $C_1$ en $P_1$ se encuentran en un punto $X$. Dibuje desde X la segunda tangente a $C_2$ que se encuentra con $C_2$ en el punto $Q_1$. Demuestre que $P_1X$ biseca el ángulo $Q_1P_1Q_2$.

Un castillo mágico tiene $n$ habitaciones idénticas, cada una de las cuales contiene $k$ puertas dispuestas en línea. En la habitación $i, 1 \leq i \leq n - 1$ hay una puerta que te llevará a la habitación $i + 1$ , y en la habitación $n$ hay una puerta que te saca del castillo. Todas las demás puertas te llevan de vuelta a la habitación $1$ . Cuando pasas por una puerta y entras en una habitación, no puedes saber en qué habitación estás entrando y no puedes ver por qué puertas has pasado antes. Empiezas de pie en la habitación $1$ y conoces los valores de $n$ y $k$ . Determine para qué valores de $n$ y $k$ existe una estrategia que garantice que saldrá del castillo y explique la estrategia. Para tales valores de $n$ y $k$ , exhiba tal estrategia y demuestre que funcionará.

Una cadena $(0_x, 1_y, 2_z)$ es una cadena ternaria infinita tal que: Si hay un $0$ en la posición $i$ , entonces hay un $1$ en la posición $i + x$ , si hay un $1$ en la posición $j$ , entonces hay un $2$ en la posición $j + y$ , si hay un $2$ en la posición $k$ , entonces hay un $0$ en la posición $k + z$ . ¿Para cuántas ternas ordenadas de enteros positivos $(x, y, z)$ con $x, y, z \leq 100$ existe una cadena $(0_x, 1_y, 2_z)$?

Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^{\circ}$ , y $AB < AC$ . Sean los puntos $D, E, F$ ubicados en el lado $BC$ tales que $AD$ es la altura, $AE$ es la bisectriz del ángulo interno y $AF$ es la mediana. Demuestre que $3AD + AF > 4AE$ .

Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que $x + y = 1$ . Demuestre que $$\left( \frac{x+1}{x} \right)^2 + \left( \frac{y+1}{y} \right)^2 \geq 18.$$

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ cuyas alturas desde $B$ y $C$ se intersecan en $H$ , sea $P$ cualquier punto en el lado $BC$ y $X, Y$ sean puntos en $AB, AC$ , respectivamente, tales que $PB = PX$ y $PC = PY$ . Demuestre que los puntos $A, H, X, Y$ se encuentran en un círculo común.

Sea $N$ un número de 3 dígitos con tres dígitos distintos no nulos. Decimos que $N$ es mediocre si tiene la propiedad de que cuando se escriben las seis permutaciones de 3 dígitos de $N$ , el promedio es $N$ . Por ejemplo, $N = 481$ es mediocre, ya que es el promedio de $\{418, 481, 148, 184, 814, 841\}$ . Determine el número mediocre más grande.