Un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros se dice tri-divisible si $3$ divide a $f(k)$ para cualquier entero $k$ . Determine las condiciones necesarias y suficientes para que un polinomio sea tri-divisible.

Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación $7x^2y^2 + 4x^2 = 77y^2 + 1260$ .

Sea $p$ un número primo para el cual $\frac{p-1}{2}$ también es primo, y sean $a,b,c$ enteros no divisibles por $p$ . Demuestra que hay a lo sumo $1+\sqrt {2p}$ enteros positivos $n$ tales que $n<p$ y $p$ divide a $a^n+b^n+c^n$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ . Sea $I$ un círculo con centro en la altura desde $A$ en $ABC$ , que pasa por el vértice $A$ y los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $AC$ . Asuma que $BP\cdot CQ = AP\cdot AQ.$ Demuestra que $I$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BOC$ .

En una grilla cuadrada de $(4n + 2)\times (4n + 2)$ , una tortuga puede moverse entre cuadrados que comparten un lado. La tortuga comienza en un cuadrado de esquina de la grilla y entra a cada cuadrado exactamente una vez, terminando en el cuadrado donde ella comenzó. En términos de $n$ , ¿cuál es el entero positivo más grande $k$ tal que debe haber una fila o columna que la tortuga haya entrado al menos $k$ veces distintas?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD,BE,$ y $CF$ . Sea $H$ el ortocentro, es decir, el punto donde las alturas se encuentran. Demuestra que $\frac{AB\cdot AC+BC\cdot CA+CA\cdot CB}{AH\cdot AD+BH\cdot BE+CH\cdot CF}\leq 2.$

Sea $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f$ , definidas en $\mathbb{N}$ y que toman valores en $\mathbb{N}$ , tales que $(n-1)^2< f(n)f(f(n)) < n^2+n$ para cada entero positivo $n$ .

Vishal comienza con $n$ copias del número $1$ escritas en la pizarra. Cada minuto, toma dos números $a, b$ y los reemplaza con $a+b$ o $\min(a^2, b^2)$ . Después de $n-1$ minutos hay $1$ número en la pizarra. Sea el valor máximo posible de este número $f(n)$ . Pruebe que $2^{n/3}<f(n)\leq 3^{n/3}$ .

Sea $d(k)$ denote el número de divisores enteros positivos de $k$. Por ejemplo, $d(6) = 4$ ya que $6$ tiene $4$ divisores positivos, es decir, $1, 2, 3$ , y $6$ . Demuestra que para todos los enteros positivos $n$, $$d(1) + d(3) + d(5) +...+ d(2n - 1)\le d(2) + d(4) + d(6) + ... + d(2n).$$

Asuma que los números reales $a$ y $b$ satisfacen $$ab+\sqrt{ab+1}+\sqrt{a^2+b}\sqrt{a+b^2}=0.$$ Encuentre, con prueba, el valor de $$b\sqrt{a^2+b}+a\sqrt{b^2+a}.$$