Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $ab +be + ba \le 3abc$ . Demostrar que $$a^3+b^3+c^3 \ge a+b+c.$$

Sean $x_i,y_i 1 \le i \le n$ números positivos tales que : $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \ge \sum_{i=1}^n x_iy_i$ Demostrar : $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \le \sum _{i=1}^n \frac{x_i}{y_i}$

Sea $P(x) = 2x^3-3x^2+2$ , y los conjuntos: $$A =\{ P(n) | n \in N, n \le 1999\}, B=\{p^2+1 |p \in N\}, C=\{ q^2+2 | q \in N\}$$ Demostrar que los conjuntos $A \cap B$ y $A\cap C$ tienen el mismo número de elementos

En el triángulo $ABC$ , sean $D \in (BC)$ , $E \in (AB)$ , $EF \parallel BC$ , $F \in (AC)$ , $EG\parallel AD$ , $G\in (BC)$ y $M,N$ los puntos medios de $(AD)$ y $(BC)$ , respectivamente. Demostrar que: \na) $\frac{EF}{BC}+\frac{EG}{AD}=1$\nb) el punto medio de $[FG]$ se encuentra en la recta $MN$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle BAC = \angle CAD$ , $\angle ABC =\angle ACD$ , $(AD \cap (BC =\{E\}$ , $(AB \cap (DC = \{F\}$ . Demostrar que: \na) $AB\cdot DE = BC \cdot CE$\nb) $AC^2 < \frac12 (AD \cdot AF + AB \cdot AE).$

Sean $a, b, c$ enteros no nulos, $a\ne c$ tales que $$\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$$ Demostrar que $a^2 +b^2 +c^2$ no puede ser un número primo.

Determinar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo si son enteros y el producto de las longitudes de los catetos es igual a tres veces el perímetro.

La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ toca los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$, respectivamente. Sea $X$ un punto en la circunferencia inscrita, diferente de los puntos $D,E,F$. Las rectas $XD$ y $EF,XE$ y $FD,XF$ y $DE$ se encuentran en los puntos $J,K,L$, respectivamente. Sea además $M,N,P$ los puntos en los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, tales que las rectas $AM,BN,CP$ son concurrentes. Demuestre que las rectas $JM,KN$ y $LP$ son concurrentes.

Dado un número primo $p$ congruente con $1$ módulo $5$ tal que $2p+1$ también es primo, demuestre que existe una matriz de $0$s y $1$s que contiene exactamente $4p$ (respectivamente, $4p+2$) $1$s sin ninguna submatriz de la cual contenga exactamente $2p$ (respectivamente, $2p+1$) $1$s.

Dado un número entero positivo $k$, defina la función $f$ en el conjunto de todos los números enteros positivos a sí mismo por\n\[f(n)=\begin{cases}1, &\text{si }n\le k+1\\\nf(f(n-1))+f(n-f(n-1)), &\text{si }n>k+1\end{cases}\]\nDemuestre que la preimagen de cada número entero positivo bajo $f$ es un conjunto finito no vacío de enteros positivos consecutivos.