Sea $(a_n)_{n\ge 1}$ una secuencia de números reales tal que \[a_1\binom{n}{1}+a_2\binom{n}{2}+\ldots+a_n\binom{n}{n}=2^{n-1}a_n,\ (\forall)n\in \mathbb{N}^*\] Demuestra que $(a_n)_{n\ge 1}$ es una progresión aritmética.

Considera una función $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tal que: \[f(m^2+f(n))=f^2(m)+n,\ \forall m,n\in \mathbb{Z}\] Demuestra que:\na) $f(0)=0$ ;\nb) $f(1)=1$ ;\nc) $f(n)=n,\ \forall n\in \mathbb{Z}$

Considera un entero positivo impar $k$ y sean $n_1<n_2<\ldots<n_k$ $k$ enteros positivos impares. Demuestra que: \[n_1^2-n_2^2+n_3^2-n_4^2+\ldots+n_k^2\ge 2k^2-1\]

En el sistema $xOy$ considera las líneas $d_1\ :\ 2x-y-2=0,\ d_2\ :\ x+y-4=0,\ d_3\ :\ y=2$ y $d_4\ :\ x-4y+3=0$. Encuentra los vértices de los triángulos cuyas medianas son $d_1,d_2,d_3$ y $d_4$ es una de sus alturas.

Considera la ecuación $x^2+(a+b+c)x+\lambda (ab+bc+ca)=0$ con $a,b,c>0$ y $\lambda\in \mathbb{R}$. Demuestra que:\na) Si $\lambda\le \frac{3}{4}$, la ecuación tiene raíces reales.\nb) Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo y $\lambda\ge 1$, entonces la ecuación no tiene raíces reales.

Considera un paralelepípedo rectangular $ABCDA'B'C'D'$ en el que denotamos $AB=a,\ BC=b,\ AA'=c$. Sean $DE\perp AC,\ DF\perp A'C,\ E\in AC,\ F \in A'C$ y $C'P\perp B'D',\ C'Q\perp BD',\ P\in B'D',\ Q\in BD'$. Demuestra que los planos $(DEF)$ y $(C'PQ)$ son perpendiculares si y solo si $a^2+c^2=b^2$.

Considera cuatro puntos $A,B,C,D$ no en el mismo plano tales que \[AB=BD=CD=AC=\sqrt{2} AD=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=a\] Demuestra que:\na) Existe un punto $M\in [BC]$ tal que $MA=MB=MC=MD$.\nb) $2m(\sphericalangle(AD,BC))=3m(\sphericalangle((ABC),(BCD)))$\nc) $6(d(A,CD))^2=7(d(A,(BCD)))^2$

Sean $x,y,z\in \mathbb{R}^*$ tales que $xy,yz,zx\in \mathbb{Q}$.\na) Demuestra que $x^2+y^2+z^2$ es racional;\nb) Si $x^3+y^3+z^3$ es racional, demuestra que $x,y,z$ son racionales.

a) Encuentra todos los enteros $m$ y $n$ tales que \[9m^2+3n=n^2+8\] b) Sea $a,b\in \mathbb{N}^*$. Si $x=a^{a+b}+(a+b)^a$ e $y=a^a+(a+b)^{a+b}$, ¿cuál es mayor?

Considera un cuadrilátero convexo $ABCD$ y $M\in (AB),\ N\in (CD)$ tal que $\frac{AM}{BM}=\frac{DN}{CN}=k$. Demuestra que $BC\parallel AD$ si y solo si \[MN=\frac{1}{k+1} AD+\frac{k}{k+1} BC\]