Sea $n \ge 5$ un entero. Demuestra que $n$ es primo si y sólo si para cualquier representación de $n$ como una suma de cuatro enteros positivos $n = a + b + c + d$, es cierto que $ab \ne cd$.

Sean $x_1, x_2 \ldots , x_5$ números reales. Encuentra el menor entero positivo $n$ con la siguiente propiedad: si algunas $n$ sumas distintas de la forma $x_p+x_q+x_r$ (con $1\le p<q<r\le 5$ ) son iguales a $0$, entonces $x_1=x_2=\cdots=x_5=0$.

Llamamos a un entero positivo compuesto $n$ 'agradable' si es posible ordenar sus factores que son mayores que $1$ en un círculo tal que dos números vecinos no son coprimos. ¿Cuántos de los elementos del conjunto $\{1, 2, 3, ..., 100\}$ son 'agradables'?

En el triángulo acutángulo $ABC$, con $AB \ne BC$, sea $T$ el punto medio del lado $[AC], A_1$ y $C_1$ denotan los pies de las altitudes dibujadas desde $A$ y $C$, respectivamente. Sea $Z$ el punto de intersección de las tangentes en $A$ y $C$ al circuncírculo del triángulo $ABC, X$ el punto de intersección de las líneas $ZA$ y $A_1C_1$ e $Y$ el punto de intersección de las líneas $ZC$ y $A_1C_1$.\na) Demuestra que $T$ es el incentro del triángulo $XYZ$.\nb) Los circuncírculos de los triángulos $ABC$ y $A_1BC_1$ se encuentran de nuevo en $D$. Demuestra que el ortocentro $H$ del triángulo $ABC$ está en la línea $TD$.\nc) Demuestra que el punto $D$ está en el circuncírculo del triángulo $XYZ$.

Considera dos enteros $n \ge m \ge 4$ y $A = \{a_1, a_2, ..., a_m\}$ un subconjunto del conjunto $\{1, 2, ..., n\}$ tal que: para todo $a, b \in A, a \ne b$, si $a + b \le n$, entonces $a + b \in A$. Demuestra que $\frac{a_1 + a_2 + ... + a_m}{m} \ge \frac{n + 1}{2}$.

Determina los números primos $p$ y $q$ que satisfacen la igualdad: $p^3 + 107 = 2q (17q + 24)$.

Sean $a, b, c, d$ números reales positivos tales que $abc+bcd+cda+dab = 4$. Demuestra que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge 4$

Sea $n \ge 6$ un entero. Tenemos a nuestra disposición $n$ colores. Coloreamos cada uno de los cuadrados unitarios de un tablero de $n \times n$ con uno de los $n$ colores.\na) Demuestra que, para cualquier coloración, existe un camino de un caballo de ajedrez desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha, que no usa todos los colores.\nb) Demuestra que, si reducimos el número de colores a $\lfloor 2n/3 \rfloor + 2$, entonces la declaración de a) es verdadera para infinitos valores de $n$ y es falsa también para infinitos valores de $n$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D \in (BC) , E \in (AD)$ puntos móviles. El circuncírculo del triángulo $CDE$ se encuentra con la mediana desde $C$ del triángulo $ABC$ en $F$. Demuestra que el circuncentro del triángulo $AEF$ está en una línea fija.

Determina todos los números reales $x, y, z \in (0, 1)$ que satisfacen simultáneamente las condiciones: $(x^2 + y^2)\sqrt{1- z^2}\ge z$ $(y^2 + z^2)\sqrt{1- x^2}\ge x$ $(z^2 + x^2)\sqrt{1- y^2}\ge y$