Considera un rombo $ABCD$ con centro $O$ . Se da un punto $P$ dentro del rombo, pero no situado en las diagonales. Sean $M,N,Q,R$ las proyecciones de $P$ en los lados $(AB), (BC), (CD), (DA)$ , respectivamente. Las bisectrices perpendiculares de los segmentos $MN$ y $RQ$ se encuentran en $S$ y las bisectrices perpendiculares de los segmentos $NQ$ y $MR$ se encuentran en $T$ . Demuestra que $P, S, T$ y $O$ son los vértices de un rectángulo.

Sea $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ una función diferenciable, con una derivada continua. Dado que $f(0)=0$ y $0\leqslant f'(x)\leqslant 1$ para cada $x>0$ pruebe que \n\[\frac{1}{n+1}\int_0^af(t)^{2n+1}\mathrm{d}t\leqslant\left(\int_0^af(t)^n\mathrm{d}t\right)^2,\]\npara cualquier entero positivo $n{}$ y número real $a>0.$

Sea $k$ un entero positivo. Un anillo $(A,+,\cdot)$ tiene la propiedad $P_k$ si para cualesquiera $a,b\in A$ existe $c\in A$ tal que $a^k=b^k+c^k.$ Dé un ejemplo de un anillo finito $(A,+,\cdot)$ que no tenga $P_k$ para ningún $k\geqslant 2.$ Sea $n\geqslant 3$ un entero y $M_n=\{m\in\mathbb{N}:(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)\text{ tiene }P_m\}.$ Pruebe que todos los elementos de $M_n$ son enteros impares y que $(M_n,\cdot)$ es un monoide.

Sea $f:[0,1]\to(0,\infty)$ una función continua en $[0,1]$ y sea $A=\int_0^1 f(t)\mathrm{d}t.$ Considere la función $F:[0,1]\to[0,A]$ definida por \n\[F(x)=\int_0^xf(t)\mathrm{d}t.\]\nPruebe que $F(x)$ tiene una función inversa, que es diferenciable. Pruebe que existe una función única $g:[0,1]\to[0,1]$ para la cual \n\[\int_0^xf(t)\mathrm{d}t=\int_{g(x)}^1f(t)\mathrm{d}t\]\nse satisface para cada $x\in [0,1].$ Pruebe que existe $c\in[0,1]$ para el cual \n\[\lim_{x\to c}\frac{g(x)-c}{x-c}=-1,\]\ndonde $g$ es la función determinada únicamente en b.

Determine los enteros $n\geqslant 2$ para los cuales la ecuación $x^2-\hat{3}\cdot x+\hat{5}=\hat{0}$ tiene una solución única en $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot).$

En cada lado de un triángulo equilátero de lado $n \ge 1$ considera $n - 1$ puntos que dividen los lados en $n$ segmentos iguales. A través de estos puntos dibuja líneas paralelas a los lados de los triángulos, obteniendo una red de triángulos equiláteros de longitud de lado $1$. En cada uno de los vértices de los triángulos pequeños pon una moneda cara arriba. Un movimiento consiste en voltear tres monedas mutuamente adyacentes. Encuentra todos los valores de $n$ para los cuales es posible voltear todas las monedas cara abajo después de un número finito de movimientos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $O$ su circuncentro. Ahora, sea el diámetro $PQ$ del círculo $ABC$ que interseca los lados $AB$ y $AC$ en su interior en $D$ y $E$, respectivamente. Ahora, sean $F$ y $G$ los puntos medios de $CD$ y $BE$. Demuestra que $\angle FOG=\angle BAC$

Resuelve, en los enteros positivos, la ecuación $5^m + n^2 = 3^p$.

Sea n un entero positivo y $x_1, x_2, ..., x_n > 0$ números reales tales que $x_1 + x_2 +... + x_n =\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+...+\frac{1}{x_n^2}$ Muestra que para cada entero positivo $k \le n$, hay $k$ números entre $x_1, x_2, ..., x_n $ cuya suma es al menos $k$.

En un círculo, considera dos cuerdas $[AB], [CD]$ que se intersecan en $E$, las líneas $AC$ y $BD$ se encuentran en $F$. Sea $G$ la proyección de $E$ sobre $AC$. Denotamos por $M,N,K$ los puntos medios de las líneas del segmento $[EF] ,[EA]$ y $[AD]$, respectivamente. Demuestra que los puntos $M, N,K,G$ son concíclicos.