Encuentra todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que \[ {a^2+b\over b^2-a}\quad\mbox{y}\quad{b^2+a\over a^2-b} \] son ambos enteros.

Sean $D$ y $E$ los puntos medios de los lados $[AB]$ y $[AC]$ del triángulo $ABC$. El círculo de diámetro $[AB]$ interseca la línea $DE$ en el lado opuesto de $AB$ que $C$, en $X$. El círculo de diámetro $[AC]$ interseca $DE$ en el lado opuesto de $AC$ que $B$ en $Y$. Sea $T$ la intersección de $BX$ y $CY$. Demuestra que el ortocentro del triángulo $XY T$ está en $BC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $\angle A + \angle C = 60^o$. Si $AB \cdot CD = BC \cdot AD$, demuestra que $AB \cdot CD = AC \cdot BD$.

Considera seis puntos en el interior de un cuadrado de lado $3$. Demuestra que entre los seis puntos, hay dos cuya distancia es menor que $2$.

Determina todos los pares $(a, b)$ de enteros que satisfacen la igualdad $\frac{a + 2}{b + 1} +\frac{a + 1}{b + 2} = 1 +\frac{6}{a + b + 1}$.

Sean $x, y, z > 0$ números reales tales que $xyz + xy + yz + zx = 4$. Demuestra que $x + y + z \ge 3$.

Sea un grupo finito $ G $ que tiene un elemento $ a\neq 1 $ para el cual existe un número primo $ p $ tal que $ x^{1+p}=a^{-1}xa, $ para todo $ x\in G. $ a) Demuestra que el orden de $ G $ es una potencia de $ p. $ b) Muestra que $ H:=\{x\in G|\text{ord} (x)=p\}\le G $ y $ \text{ord}^2(H)>\text{ord}(G). $

Sea $ f:[1,\infty )\longrightarrow (0,\infty ) $ una función continua que satisface las siguientes propiedades: $ \text{(i)}\exists\lim_{x\to\infty } \frac{f(x)}{x}\in\overline{\mathbb{R}} $ $ \text{(ii)}\exists\lim_{x\to\infty } \frac{1}{x}\int_1^x f(t)dt\in\mathbb{R}. $ a) Muestra que $ \lim_{x\to\infty } \frac{f(x)}{x}=0. $ b) Demuestra que $ \lim_{x\to\infty } \frac{1}{x^2}\int_1^x f^2(t)dt=0. $

Sean $ I,J $ dos intervalos, $ \varphi :J\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua cuya imagen no contiene $ 0, $ y $ f,g:I\longrightarrow J $ dos funciones diferenciables tales que $ f'=\varphi\circ f,g'=\varphi\circ g $ y tales que la imagen de $ f-g $ contiene $ 0. $ Muestra que $ f $ y $ g $ son la misma función.

Para un anillo $ A, $ y un elemento $ a $ de él, define $ s_a,d_a:A\longrightarrow A, s_a(x)=ax,d_a=xa.$ a) Demuestra que si $ A $ es finito, entonces $ s_a $ es inyectiva si y sólo si $ d_a $ es inyectiva. b) Da un ejemplo de un anillo que tiene un elemento $ b $ para el cual $ s_b $ es inyectiva y $ d_b $ no lo es, o, a la inversa, $ s_b $ no es inyectiva, pero $ d_b $ lo es.