Sea $ A\in\mathcal{M}_4\left(\mathbb{R}\right) $ una matriz invertible cuya traza es igual a la traza de su adjunta, que no es cero. Muestra que $ A^2+I $ es singular si y sólo si existe una matriz no nula en $ \mathcal{M}_4\left( \mathbb{R} \right) $ que anticonmuta con ella.

Sean $A,B\in M_n(C)$ dos matrices cuadradas que satisfacen $A^2+B^2 = 2AB$ . 1. Demuestra que $\det(AB-BA)=0$ . 2. Si $rank(A-B)=1$ , entonces demuestra que $AB=BA$ .

Encuentra todas las funciones derivables que tienen dominio y codominio reales, y son iguales a su segunda potencia funcional.

Encuentra todas las funciones continuas $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que satisfacen: $ \text{(i)}\text{id}+f $ es no decreciente $ \text{(ii)} $ Existe un número natural $ m $ tal que $ \text{id}+f+f^2\cdots +f^m $ es no creciente. Aquí, $ \text{id} $ representa la función identidad, y ^ denota potencia funcional.

Sea $n \in \mathbb{N} , n \ge 2$ y $ a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n \in \mathbb{C} ; a_n \not = 0 $ . Entonces: P. $|a_nz^n + a_{n-1}z^z{n-1} + \cdots + a_1z + a_0 | \le |a_n+a_0|$ para cualquier $z \in \mathbb{C}, |z|=1$ Q . $a_1=a_2=\cdots=a_{n-1}=0$ y $a_0/a_n \in [0,\infty)$ Demuestra que $ P \Longleftrightarrow Q$

Sea $ n $ un número natural, y $ A $ el conjunto de los primeros $ n $ números naturales. Encuentra el número de funciones no decrecientes $ f:A\longrightarrow A $ que tienen la propiedad $$ x,y\in A\implies |f(x)-f(y)|\le |x-y|. $$

Sea una función $ f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} $ que satisface $ \text{(i)} f(1)=1 $ $ \text{(ii)} f(p)=1+f(p-1), $ para cualquier primo $ p $ $ \text{(iii)} f(p_1p_2\cdots p_u)=f(p_1)+f(p_2)+\cdots f(p_u), $ para cualquier número natural $ u $ y cualquier primo $ p_1,p_2,\ldots ,p_u. $ Muestra que $ 2^{f(n)}\le n^3\le 3^{f(n)}, $ para cualquier natural $ n\ge 2. $

Sea un número natural $ n. $ Calcula $$ \sum_{k=1}^{n^2}\#\left\{ d\in\mathbb{N}| 1\le d\le k\le d^2\le n^2\wedge k\equiv 0\pmod d \right\} . $$ Aquí, $ \# $ significa cardinal.

Sea $ ABCD $ un cuadrilátero inscrito en un círculo de diámetro $ AC. $ Fija los puntos $ E,F $ de los segmentos $ CD, $ respectivamente, $ BC $ tales que $ AE $ es perpendicular a $ DF $ y $ AF $ es perpendicular a $ BE. $ Muestra que $ AB=AD. $

Sean $ P,Q $ los puntos medios de las diagonales $ BD, $ respectivamente, $ AC, $ del cuadrilátero $ ABCD, $ y los puntos $ M,N,R,S $ en los segmentos $ BC,CD,PQ, $ respectivamente $ AC, $ excepto sus extremos, tales que $$ \frac{BM}{MC}=\frac{DN}{NC}=\frac{PR}{RQ}=\frac{AS}{SC} . $$ Muestra que el centro de masa del triángulo $ AMN $ está situado en el segmento $ RS. $